Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74163 / 56223
↖ ↑ ↗
← N 24.769278°
E 23.694763°		 ← 277.33 m → N 24.769278°
E 23.697510°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 24.766785°
E 23.694763°		 ← 277.33 m →
76 894 m²		 N 24.766785°
E 23.697510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565822601318359 y=0.428951263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565822601318359 × 217)
    floor (0.565822601318359 × 131072)
    floor (74163.5)     		tx = 74163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428951263427734 × 217)
    floor (0.428951263427734 × 131072)
    floor (56223.5)     		ty = 56223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74163 / 56223 ti = "17/74163/56223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74163/56223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74163 ÷ 217
    74163 ÷ 131072     		x = 0.565818786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56223 ÷ 217
    56223 ÷ 131072     		y = 0.428947448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565818786621094 × 2 - 1) × π
    0.131637573242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.41355163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428947448730469 × 2 - 1) × π
    0.142105102539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.446436346161583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41355163} λ = 0.41355163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446436346161583))-π/2
    2×atan(1.56273321042271)-π/2
    2×1.00155089454474-π/2
    2.00310178908948-1.57079632675     		φ = 0.43230546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41355163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.694763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43230546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.769278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74163 KachelY 56223 0.41355163 0.43230546 23.694763 24.769278
    Oben rechts KachelX + 1 74164 KachelY 56223 0.41359957 0.43230546 23.697510 24.769278
    Unten links KachelX 74163 KachelY + 1 56224 0.41355163 0.43226194 23.694763 24.766785
    Unten rechts KachelX + 1 74164 KachelY + 1 56224 0.41359957 0.43226194 23.697510 24.766785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43230546-0.43226194) × R
    4.35199999999636e-05 × 6371000     		dl = 277.265919999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43230546-0.43226194) × R
    4.35199999999636e-05 × 6371000     		dr = 277.265919999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41355163-0.41359957) × cos(0.43230546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908002255924417 × 6371000     		do = 277.327260937524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41355163-0.41359957) × cos(0.43226194) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908020488433387 × 6371000     		du = 277.332829615068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43230546)-sin(0.43226194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908002255924417-0.908020488433387)×R²
    abs(0.41359957-0.41355163)×1.82325089704838e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82325089704838e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82325089704838e-05×40589641000000     		ar = 76894.1701593164m²