Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7416 / 7519
↖ ↑ ↗
← S 81.716859°
E145.898438°		 ← 703.97 m → S 81.716859°
E145.942383°		 →
↑
703.74 m
↓
↑
703.74 m
↓
S 81.723188°
E145.898438°		 ← 703.44 m →
495 226 m²		 S 81.723188°
E145.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90533447265625 y=0.91790771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90533447265625 × 213)
    floor (0.90533447265625 × 8192)
    floor (7416.5)     		tx = 7416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91790771484375 × 213)
    floor (0.91790771484375 × 8192)
    floor (7519.5)     		ty = 7519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7416 / 7519 ti = "13/7416/7519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7416/7519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7416 ÷ 213
    7416 ÷ 8192     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7519 ÷ 213
    7519 ÷ 8192     		y = 0.9178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62540811839124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62540811839124))-π/2
    2×atan(0.072410199069134)-π/2
    2×0.0722840411076567-π/2
    0.144568082215313-1.57079632675     		φ = -1.42622824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42622824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.716859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7416 KachelY 7519 2.54640811 -1.42622824 145.898438 -81.716859
    Oben rechts KachelX + 1 7417 KachelY 7519 2.54717510 -1.42622824 145.942383 -81.716859
    Unten links KachelX 7416 KachelY + 1 7520 2.54640811 -1.42633870 145.898438 -81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 7417 KachelY + 1 7520 2.54717510 -1.42633870 145.942383 -81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42622824--1.42633870) × R
    0.000110460000000145 × 6371000     		dl = 703.740660000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42622824--1.42633870) × R
    0.000110460000000145 × 6371000     		dr = 703.740660000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.54717510) × cos(-1.42622824) × R
    0.000766990000000245 × 0.14406503557908 × 6371000     		do = 703.972829681011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.54717510) × cos(-1.42633870) × R
    0.000766990000000245 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 703.438694016546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42622824)-sin(-1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14406503557908-0.143955726994628)×R²
    abs(2.54717510-2.54640811)×0.000109308584452211×R²
    0.000766990000000245×0.000109308584452211×6371000²
    0.000766990000000245×0.000109308584452211×40589641000000     		ar = 495226.357794744m²