Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7416 / 7448
↖ ↑ ↗
← S 81.255032°
E145.898438°		 ← 742.93 m → S 81.255032°
E145.942383°		 →
↑
742.60 m
↓
↑
742.60 m
↓
S 81.261711°
E145.898438°		 ← 742.36 m →
551 490 m²		 S 81.261711°
E145.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90533447265625 y=0.90924072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90533447265625 × 213)
    floor (0.90533447265625 × 8192)
    floor (7416.5)     		tx = 7416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90924072265625 × 213)
    floor (0.90924072265625 × 8192)
    floor (7448.5)     		ty = 7448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7416 / 7448 ti = "13/7416/7448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7416/7448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7416 ÷ 213
    7416 ÷ 8192     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7448 ÷ 213
    7448 ÷ 8192     		y = 0.9091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9091796875 × 2 - 1) × π
    -0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57095180042285))-π/2
    2×atan(0.076462733516113)-π/2
    2×0.0763142396865722-π/2
    0.152628479373144-1.57079632675     		φ = -1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7416 KachelY 7448 2.54640811 -1.41816785 145.898438 -81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 7417 KachelY 7448 2.54717510 -1.41816785 145.942383 -81.255032
    Unten links KachelX 7416 KachelY + 1 7449 2.54640811 -1.41828441 145.898438 -81.261711
    Unten rechts KachelX + 1 7417 KachelY + 1 7449 2.54717510 -1.41828441 145.942383 -81.261711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41816785--1.41828441) × R
    0.000116560000000154 × 6371000     		dl = 742.603760000983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41816785--1.41828441) × R
    0.000116560000000154 × 6371000     		dr = 742.603760000983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.54717510) × cos(-1.41816785) × R
    0.000766990000000245 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 742.925704008347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.54717510) × cos(-1.41828441) × R
    0.000766990000000245 × 0.151921369082067 × 6371000     		du = 742.362750627373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41816785)-sin(-1.41828441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.151921369082067)×R²
    abs(2.54717510-2.54640811)×0.000115206007163887×R²
    0.000766990000000245×0.000115206007163887×6371000²
    0.000766990000000245×0.000115206007163887×40589641000000     		ar = 551490.396176158m²