Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7416 / 7416
↖ ↑ ↗
← S 81.038617°
E145.898438°		 ← 761.16 m → S 81.038617°
E145.942383°		 →
↑
760.89 m
↓
↑
760.89 m
↓
S 81.045460°
E145.898438°		 ← 760.59 m →
578 941 m²		 S 81.045460°
E145.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90533447265625 y=0.90533447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90533447265625 × 213)
    floor (0.90533447265625 × 8192)
    floor (7416.5)     		tx = 7416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90533447265625 × 213)
    floor (0.90533447265625 × 8192)
    floor (7416.5)     		ty = 7416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7416 / 7416 ti = "13/7416/7416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7416/7416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7416 ÷ 213
    7416 ÷ 8192     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7416 ÷ 213
    7416 ÷ 8192     		y = 0.9052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    -0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54640810781738))-π/2
    2×atan(0.0783626312231836)-π/2
    2×0.0782028191050348-π/2
    0.15640563821007-1.57079632675     		φ = -1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7416 KachelY 7416 2.54640811 -1.41439069 145.898438 -81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 7417 KachelY 7416 2.54717510 -1.41439069 145.942383 -81.038617
    Unten links KachelX 7416 KachelY + 1 7417 2.54640811 -1.41451012 145.898438 -81.045460
    Unten rechts KachelX + 1 7417 KachelY + 1 7417 2.54717510 -1.41451012 145.942383 -81.045460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41439069--1.41451012) × R
    0.000119430000000031 × 6371000     		dl = 760.8885300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41439069--1.41451012) × R
    0.000119430000000031 × 6371000     		dr = 760.8885300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.54717510) × cos(-1.41439069) × R
    0.000766990000000245 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 761.162862156313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.54717510) × cos(-1.41451012) × R
    0.000766990000000245 × 0.155650758387442 × 6371000     		du = 760.586386443888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41439069)-sin(-1.41451012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.155650758387442)×R²
    abs(2.54717510-2.54640811)×0.000117973294592372×R²
    0.000766990000000245×0.000117973294592372×6371000²
    0.000766990000000245×0.000117973294592372×40589641000000     		ar = 578940.775084919m²