Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7416 / 5693
↖ ↑ ↗
← N 48.034019°
W 17.050781°		 ← 1 633.75 m → N 48.034019°
W 17.028809°		 →
↑
1 634.03 m
↓
↑
1 634.03 m
↓
N 48.019324°
W 17.050781°		 ← 1 634.22 m →
2 669 986 m²		 N 48.019324°
W 17.028809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452667236328125 y=0.347503662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452667236328125 × 214)
    floor (0.452667236328125 × 16384)
    floor (7416.5)     		tx = 7416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347503662109375 × 214)
    floor (0.347503662109375 × 16384)
    floor (5693.5)     		ty = 5693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7416 / 5693 ti = "14/7416/5693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7416/5693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7416 ÷ 214
    7416 ÷ 16384     		x = 0.45263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5693 ÷ 214
    5693 ÷ 16384     		y = 0.34747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45263671875 × 2 - 1) × π
    -0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34747314453125 × 2 - 1) × π
    0.3050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.958354497204163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29759227} λ = -0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958354497204163))-π/2
    2×atan(2.60740245345406)-π/2
    2×1.20457405703047-π/2
    2.40914811406093-1.57079632675     		φ = 0.83835179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83835179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.034019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7416 KachelY 5693 -0.29759227 0.83835179 -17.050781 48.034019
    Oben rechts KachelX + 1 7417 KachelY 5693 -0.29720878 0.83835179 -17.028809 48.034019
    Unten links KachelX 7416 KachelY + 1 5694 -0.29759227 0.83809531 -17.050781 48.019324
    Unten rechts KachelX + 1 7417 KachelY + 1 5694 -0.29720878 0.83809531 -17.028809 48.019324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83835179-0.83809531) × R
    0.000256480000000003 × 6371000     		dl = 1634.03408000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83835179-0.83809531) × R
    0.000256480000000003 × 6371000     		dr = 1634.03408000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29759227--0.29720878) × cos(0.83835179) × R
    0.000383489999999986 × 0.668689246909098 × 6371000     		do = 1633.75145796221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29759227--0.29720878) × cos(0.83809531) × R
    0.000383489999999986 × 0.668879928562778 × 6371000     		du = 1634.21733419867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83835179)-sin(0.83809531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668689246909098-0.668879928562778)×R²
    abs(-0.29720878--0.29759227)×0.000190681653679858×R²
    0.000383489999999986×0.000190681653679858×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190681653679858×40589641000000     		ar = 2669986.20402087m²