Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7416 / 4889
↖ ↑ ↗
← N 77.406283°
W 98.525390°		 ← 266.35 m → N 77.406283°
W 98.514405°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
N 77.403887°
W 98.525390°		 ← 266.40 m →
70 954 m²		 N 77.403887°
W 98.514405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226333618164062 y=0.149215698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226333618164062 × 215)
    floor (0.226333618164062 × 32768)
    floor (7416.5)     		tx = 7416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149215698242188 × 215)
    floor (0.149215698242188 × 32768)
    floor (4889.5)     		ty = 4889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7416 / 4889 ti = "15/7416/4889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7416/4889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7416 ÷ 215
    7416 ÷ 32768     		x = 0.226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4889 ÷ 215
    4889 ÷ 32768     		y = 0.149200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.54736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71959246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149200439453125 × 2 - 1) × π
    0.70159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20413864453018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71959246} λ = -1.71959246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20413864453018))-π/2
    2×atan(9.06244222085053)-π/2
    2×1.46089541268818-π/2
    2.92179082537636-1.57079632675     		φ = 1.35099450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71959246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.525390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35099450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.406283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7416 KachelY 4889 -1.71959246 1.35099450 -98.525390 77.406283
    Oben rechts KachelX + 1 7417 KachelY 4889 -1.71940072 1.35099450 -98.514405 77.406283
    Unten links KachelX 7416 KachelY + 1 4890 -1.71959246 1.35095269 -98.525390 77.403887
    Unten rechts KachelX + 1 7417 KachelY + 1 4890 -1.71940072 1.35095269 -98.514405 77.403887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35099450-1.35095269) × R
    4.1810000000142e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35099450-1.35095269) × R
    4.1810000000142e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71959246--1.71940072) × cos(1.35099450) × R
    0.000191739999999996 × 0.218036222071525 × 6371000     		do = 266.347715716577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71959246--1.71940072) × cos(1.35095269) × R
    0.000191739999999996 × 0.218077025960664 × 6371000     		du = 266.397560749487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35099450)-sin(1.35095269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218036222071525-0.218077025960664)×R²
    abs(-1.71940072--1.71959246)×4.08038891396845e-05×R²
    0.000191739999999996×4.08038891396845e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.08038891396845e-05×40589641000000     		ar = 70954.0818790383m²