Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74159 / 61039
↖ ↑ ↗
← N 12.256812°
E 23.683777°		 ← 298.40 m → N 12.256812°
E 23.686523°		 →
↑
298.42 m
↓
↑
298.42 m
↓
N 12.254128°
E 23.683777°		 ← 298.40 m →
89 049 m²		 N 12.254128°
E 23.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565792083740234 y=0.465694427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565792083740234 × 217)
    floor (0.565792083740234 × 131072)
    floor (74159.5)     		tx = 74159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465694427490234 × 217)
    floor (0.465694427490234 × 131072)
    floor (61039.5)     		ty = 61039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74159 / 61039 ti = "17/74159/61039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74159/61039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74159 ÷ 217
    74159 ÷ 131072     		x = 0.565788269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61039 ÷ 217
    61039 ÷ 131072     		y = 0.465690612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565788269042969 × 2 - 1) × π
    0.131576538085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41335989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465690612792969 × 2 - 1) × π
    0.0686187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.215572237591393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41335989} λ = 0.41335989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215572237591393))-π/2
    2×atan(1.24057159559039)-π/2
    2×0.892359023614607-π/2
    1.78471804722921-1.57079632675     		φ = 0.21392172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41335989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.683777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21392172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.256812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74159 KachelY 61039 0.41335989 0.21392172 23.683777 12.256812
    Oben rechts KachelX + 1 74160 KachelY 61039 0.41340782 0.21392172 23.686523 12.256812
    Unten links KachelX 74159 KachelY + 1 61040 0.41335989 0.21387488 23.683777 12.254128
    Unten rechts KachelX + 1 74160 KachelY + 1 61040 0.41340782 0.21387488 23.686523 12.254128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21392172-0.21387488) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dl = 298.417640000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21392172-0.21387488) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dr = 298.417640000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41335989-0.41340782) × cos(0.21392172) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97720587446808 × 6371000     		do = 298.401569555335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41335989-0.41340782) × cos(0.21387488) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97721581724004 × 6371000     		du = 298.404605700365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21392172)-sin(0.21387488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97720587446808-0.97721581724004)×R²
    abs(0.41340782-0.41335989)×9.94277195998094e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.94277195998094e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.94277195998094e-06×40589641000000     		ar = 89048.7451949406m²