Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74158 / 61038
↖ ↑ ↗
← N 12.259495°
E 23.681030°		 ← 298.46 m → N 12.259495°
E 23.683777°		 →
↑
298.42 m
↓
↑
298.42 m
↓
N 12.256812°
E 23.681030°		 ← 298.46 m →
89 066 m²		 N 12.256812°
E 23.683777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565784454345703 y=0.465686798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565784454345703 × 217)
    floor (0.565784454345703 × 131072)
    floor (74158.5)     		tx = 74158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465686798095703 × 217)
    floor (0.465686798095703 × 131072)
    floor (61038.5)     		ty = 61038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74158 / 61038 ti = "17/74158/61038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74158/61038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74158 ÷ 217
    74158 ÷ 131072     		x = 0.565780639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61038 ÷ 217
    61038 ÷ 131072     		y = 0.465682983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565780639648438 × 2 - 1) × π
    0.131561279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41331195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465682983398438 × 2 - 1) × π
    0.068634033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.215620174491013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41331195} λ = 0.41331195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215620174491013))-π/2
    2×atan(1.24063106617185)-π/2
    2×0.892382445605373-π/2
    1.78476489121075-1.57079632675     		φ = 0.21396856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41331195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.681030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21396856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.259495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74158 KachelY 61038 0.41331195 0.21396856 23.681030 12.259495
    Oben rechts KachelX + 1 74159 KachelY 61038 0.41335989 0.21396856 23.683777 12.259495
    Unten links KachelX 74158 KachelY + 1 61039 0.41331195 0.21392172 23.681030 12.256812
    Unten rechts KachelX + 1 74159 KachelY + 1 61039 0.41335989 0.21392172 23.683777 12.256812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21396856-0.21392172) × R
    4.68399999999924e-05 × 6371000     		dl = 298.417639999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21396856-0.21392172) × R
    4.68399999999924e-05 × 6371000     		dr = 298.417639999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41331195-0.41335989) × cos(0.21396856) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977195929552144 × 6371000     		do = 298.460789908601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41331195-0.41335989) × cos(0.21392172) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.97720587446808 × 6371000     		du = 298.46382734191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21396856)-sin(0.21392172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977195929552144-0.97720587446808)×R²
    abs(0.41335989-0.41331195)×9.94491593553359e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.94491593553359e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.94491593553359e-06×40589641000000     		ar = 89066.4177851309m²