Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74157 / 90419
↖ ↑ ↗
← S 56.247928°
E 23.678284°		 ← 169.69 m → S 56.247928°
E 23.681030°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
S 56.249454°
E 23.678284°		 ← 169.69 m →
28 801 m²		 S 56.249454°
E 23.681030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565776824951172 y=0.689846038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565776824951172 × 217)
    floor (0.565776824951172 × 131072)
    floor (74157.5)     		tx = 74157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689846038818359 × 217)
    floor (0.689846038818359 × 131072)
    floor (90419.5)     		ty = 90419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74157 / 90419 ti = "17/74157/90419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74157/90419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74157 ÷ 217
    74157 ÷ 131072     		x = 0.565773010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90419 ÷ 217
    90419 ÷ 131072     		y = 0.689842224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565773010253906 × 2 - 1) × π
    0.131546020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41326401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689842224121094 × 2 - 1) × π
    -0.379684448242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.19281387324586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41326401} λ = 0.41326401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19281387324586))-π/2
    2×atan(0.303366427256183)-π/2
    2×0.294542391121326-π/2
    0.589084782242652-1.57079632675     		φ = -0.98171154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41326401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.678284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98171154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.247928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74157 KachelY 90419 0.41326401 -0.98171154 23.678284 -56.247928
    Oben rechts KachelX + 1 74158 KachelY 90419 0.41331195 -0.98171154 23.681030 -56.247928
    Unten links KachelX 74157 KachelY + 1 90420 0.41326401 -0.98173818 23.678284 -56.249454
    Unten rechts KachelX + 1 74158 KachelY + 1 90420 0.41331195 -0.98173818 23.681030 -56.249454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98171154--0.98173818) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dl = 169.723439999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98171154--0.98173818) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dr = 169.723439999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41326401-0.41331195) × cos(-0.98171154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555600302128568 × 6371000     		do = 169.69463342173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41326401-0.41331195) × cos(-0.98173818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555578152116207 × 6371000     		du = 169.687868237814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98171154)-sin(-0.98173818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555600302128568-0.555578152116207)×R²
    abs(0.41331195-0.41326401)×2.21500123614993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21500123614993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21500123614993e-05×40589641000000     		ar = 28800.5828302791m²