Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74157 / 61026
↖ ↑ ↗
← N 12.291701°
E 23.678284°		 ← 298.42 m → N 12.291701°
E 23.681030°		 →
↑
298.42 m
↓
↑
298.42 m
↓
N 12.289018°
E 23.678284°		 ← 298.43 m →
89 056 m²		 N 12.289018°
E 23.681030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565776824951172 y=0.465595245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565776824951172 × 217)
    floor (0.565776824951172 × 131072)
    floor (74157.5)     		tx = 74157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465595245361328 × 217)
    floor (0.465595245361328 × 131072)
    floor (61026.5)     		ty = 61026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74157 / 61026 ti = "17/74157/61026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74157/61026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74157 ÷ 217
    74157 ÷ 131072     		x = 0.565773010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61026 ÷ 217
    61026 ÷ 131072     		y = 0.465591430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565773010253906 × 2 - 1) × π
    0.131546020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41326401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465591430664062 × 2 - 1) × π
    0.068817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.216195417286453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41326401} λ = 0.41326401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216195417286453))-π/2
    2×atan(1.24134493555889)-π/2
    2×0.892663490884661-π/2
    1.78532698176932-1.57079632675     		φ = 0.21453066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41326401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.678284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21453066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.291701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74157 KachelY 61026 0.41326401 0.21453066 23.678284 12.291701
    Oben rechts KachelX + 1 74158 KachelY 61026 0.41331195 0.21453066 23.681030 12.291701
    Unten links KachelX 74157 KachelY + 1 61027 0.41326401 0.21448382 23.678284 12.289018
    Unten rechts KachelX + 1 74158 KachelY + 1 61027 0.41331195 0.21448382 23.681030 12.289018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21453066-0.21448382) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dl = 298.417640000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21453066-0.21448382) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dr = 298.417640000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41326401-0.41331195) × cos(0.21453066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977076419080989 × 6371000     		do = 298.424288334166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41326401-0.41331195) × cos(0.21448382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977086389723844 × 6371000     		du = 298.427333625138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21453066)-sin(0.21448382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977076419080989-0.977086389723844)×R²
    abs(0.41331195-0.41326401)×9.97064285501725e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97064285501725e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97064285501725e-06×40589641000000     		ar = 89055.5262439522m²