Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74156 / 61124
↖ ↑ ↗
← N 12.028576°
E 23.675537°		 ← 298.72 m → N 12.028576°
E 23.678284°		 →
↑
298.67 m
↓
↑
298.67 m
↓
N 12.025890°
E 23.675537°		 ← 298.72 m →
89 220 m²		 N 12.025890°
E 23.678284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565769195556641 y=0.466342926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565769195556641 × 217)
    floor (0.565769195556641 × 131072)
    floor (74156.5)     		tx = 74156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466342926025391 × 217)
    floor (0.466342926025391 × 131072)
    floor (61124.5)     		ty = 61124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74156 / 61124 ti = "17/74156/61124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74156/61124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74156 ÷ 217
    74156 ÷ 131072     		x = 0.565765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61124 ÷ 217
    61124 ÷ 131072     		y = 0.466339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565765380859375 × 2 - 1) × π
    0.13153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41321607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466339111328125 × 2 - 1) × π
    0.06732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.211497601123688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41321607} λ = 0.41321607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211497601123688))-π/2
    2×atan(1.23552700174869)-π/2
    2×0.890367288211057-π/2
    1.78073457642211-1.57079632675     		φ = 0.20993825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41321607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.675537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20993825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.028576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74156 KachelY 61124 0.41321607 0.20993825 23.675537 12.028576
    Oben rechts KachelX + 1 74157 KachelY 61124 0.41326401 0.20993825 23.678284 12.028576
    Unten links KachelX 74156 KachelY + 1 61125 0.41321607 0.20989137 23.675537 12.025890
    Unten rechts KachelX + 1 74157 KachelY + 1 61125 0.41326401 0.20989137 23.678284 12.025890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20993825-0.20989137) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.672479999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20993825-0.20989137) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.672479999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41321607-0.41326401) × cos(0.20993825) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978043785258309 × 6371000     		do = 298.71974686507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41321607-0.41326401) × cos(0.20989137) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978053553952408 × 6371000     		du = 298.722730475694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20993825)-sin(0.20989137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978043785258309-0.978053553952408)×R²
    abs(0.41326401-0.41321607)×9.76869409929915e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.76869409929915e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.76869409929915e-06×40589641000000     		ar = 89219.8131987035m²