Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74156 / 54876
↖ ↑ ↗
← N 28.081674°
E 23.675537°		 ← 269.47 m → N 28.081674°
E 23.678284°		 →
↑
269.49 m
↓
↑
269.49 m
↓
N 28.079250°
E 23.675537°		 ← 269.48 m →
72 621 m²		 N 28.079250°
E 23.678284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565769195556641 y=0.418674468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565769195556641 × 217)
    floor (0.565769195556641 × 131072)
    floor (74156.5)     		tx = 74156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418674468994141 × 217)
    floor (0.418674468994141 × 131072)
    floor (54876.5)     		ty = 54876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74156 / 54876 ti = "17/74156/54876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74156/54876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74156 ÷ 217
    74156 ÷ 131072     		x = 0.565765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54876 ÷ 217
    54876 ÷ 131072     		y = 0.418670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565765380859375 × 2 - 1) × π
    0.13153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41321607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418670654296875 × 2 - 1) × π
    0.16265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.511007349949799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41321607} λ = 0.41321607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511007349949799))-π/2
    2×atan(1.66696957116169)-π/2
    2×1.03045699641231-π/2
    2.06091399282463-1.57079632675     		φ = 0.49011767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41321607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.675537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49011767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.081674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74156 KachelY 54876 0.41321607 0.49011767 23.675537 28.081674
    Oben rechts KachelX + 1 74157 KachelY 54876 0.41326401 0.49011767 23.678284 28.081674
    Unten links KachelX 74156 KachelY + 1 54877 0.41321607 0.49007537 23.675537 28.079250
    Unten rechts KachelX + 1 74157 KachelY + 1 54877 0.41326401 0.49007537 23.678284 28.079250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49011767-0.49007537) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dl = 269.493299999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49011767-0.49007537) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dr = 269.493299999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41321607-0.41326401) × cos(0.49011767) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882277473953497 × 6371000     		do = 269.470250367713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41321607-0.41326401) × cos(0.49007537) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882297385030857 × 6371000     		du = 269.47633172325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49011767)-sin(0.49007537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882277473953497-0.882297385030857)×R²
    abs(0.41326401-0.41321607)×1.9911077360435e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9911077360435e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9911077360435e-05×40589641000000     		ar = 72621.2464766026m²