Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74155 / 56185
↖ ↑ ↗
← N 24.864011°
E 23.672791°		 ← 277.06 m → N 24.864011°
E 23.675537°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
N 24.861519°
E 23.672791°		 ← 277.06 m →
76 766 m²		 N 24.861519°
E 23.675537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565761566162109 y=0.428661346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565761566162109 × 217)
    floor (0.565761566162109 × 131072)
    floor (74155.5)     		tx = 74155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428661346435547 × 217)
    floor (0.428661346435547 × 131072)
    floor (56185.5)     		ty = 56185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74155 / 56185 ti = "17/74155/56185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74155/56185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74155 ÷ 217
    74155 ÷ 131072     		x = 0.565757751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56185 ÷ 217
    56185 ÷ 131072     		y = 0.428657531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565757751464844 × 2 - 1) × π
    0.131515502929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41316814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428657531738281 × 2 - 1) × π
    0.142684936523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.448257948347145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41316814} λ = 0.41316814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448257948347145))-π/2
    2×atan(1.56558248298695)-π/2
    2×1.00237758811248-π/2
    2.00475517622496-1.57079632675     		φ = 0.43395885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41316814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.672791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43395885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.864011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74155 KachelY 56185 0.41316814 0.43395885 23.672791 24.864011
    Oben rechts KachelX + 1 74156 KachelY 56185 0.41321607 0.43395885 23.675537 24.864011
    Unten links KachelX 74155 KachelY + 1 56186 0.41316814 0.43391536 23.672791 24.861519
    Unten rechts KachelX + 1 74156 KachelY + 1 56186 0.41321607 0.43391536 23.675537 24.861519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43395885-0.43391536) × R
    4.34899999999794e-05 × 6371000     		dl = 277.074789999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43395885-0.43391536) × R
    4.34899999999794e-05 × 6371000     		dr = 277.074789999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41316814-0.41321607) × cos(0.43395885) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.907308302138962 × 6371000     		do = 277.057504976855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41316814-0.41321607) × cos(0.43391536) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.907326587346628 × 6371000     		du = 277.063088584987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43395885)-sin(0.43391536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907308302138962-0.907326587346628)×R²
    abs(0.41321607-0.41316814)×1.82852076664464e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.82852076664464e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.82852076664464e-05×40589641000000     		ar = 76766.4235600579m²