Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74154 / 90420
↖ ↑ ↗
← S 56.249454°
E 23.670044°		 ← 169.69 m → S 56.249454°
E 23.672791°		 →
↑
169.66 m
↓
↑
169.66 m
↓
S 56.250980°
E 23.670044°		 ← 169.68 m →
28 789 m²		 S 56.250980°
E 23.672791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565753936767578 y=0.689853668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565753936767578 × 217)
    floor (0.565753936767578 × 131072)
    floor (74154.5)     		tx = 74154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689853668212891 × 217)
    floor (0.689853668212891 × 131072)
    floor (90420.5)     		ty = 90420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74154 / 90420 ti = "17/74154/90420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74154/90420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74154 ÷ 217
    74154 ÷ 131072     		x = 0.565750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90420 ÷ 217
    90420 ÷ 131072     		y = 0.689849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565750122070312 × 2 - 1) × π
    0.131500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41312020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.37969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19286181014548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41312020} λ = 0.41312020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19286181014548))-π/2
    2×atan(0.303351885158765)-π/2
    2×0.294529074508845-π/2
    0.589058149017689-1.57079632675     		φ = -0.98173818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41312020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.670044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98173818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.249454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74154 KachelY 90420 0.41312020 -0.98173818 23.670044 -56.249454
    Oben rechts KachelX + 1 74155 KachelY 90420 0.41316814 -0.98173818 23.672791 -56.249454
    Unten links KachelX 74154 KachelY + 1 90421 0.41312020 -0.98176481 23.670044 -56.250980
    Unten rechts KachelX + 1 74155 KachelY + 1 90421 0.41316814 -0.98176481 23.672791 -56.250980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98173818--0.98176481) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dl = 169.659730000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98173818--0.98176481) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dr = 169.659730000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41312020-0.41316814) × cos(-0.98173818) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555578152116207 × 6371000     		do = 169.68786823801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41312020-0.41316814) × cos(-0.98176481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555556010024348 × 6371000     		du = 169.681105473219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98173818)-sin(-0.98176481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555578152116207-0.555556010024348)×R²
    abs(0.41316814-0.41312020)×2.2142091858357e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2142091858357e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2142091858357e-05×40589641000000     		ar = 28788.6242270461m²