Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74154 / 56214
↖ ↑ ↗
← N 24.791722°
E 23.670044°		 ← 277.28 m → N 24.791722°
E 23.672791°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 24.789228°
E 23.670044°		 ← 277.28 m →
76 880 m²		 N 24.789228°
E 23.672791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565753936767578 y=0.428882598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565753936767578 × 217)
    floor (0.565753936767578 × 131072)
    floor (74154.5)     		tx = 74154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428882598876953 × 217)
    floor (0.428882598876953 × 131072)
    floor (56214.5)     		ty = 56214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74154 / 56214 ti = "17/74154/56214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74154/56214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74154 ÷ 217
    74154 ÷ 131072     		x = 0.565750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56214 ÷ 217
    56214 ÷ 131072     		y = 0.428878784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565750122070312 × 2 - 1) × π
    0.131500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41312020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428878784179688 × 2 - 1) × π
    0.142242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.446867778258163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41312020} λ = 0.41312020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446867778258163))-π/2
    2×atan(1.56340756914762)-π/2
    2×1.00174674749677-π/2
    2.00349349499354-1.57079632675     		φ = 0.43269717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41312020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.670044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43269717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.791722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74154 KachelY 56214 0.41312020 0.43269717 23.670044 24.791722
    Oben rechts KachelX + 1 74155 KachelY 56214 0.41316814 0.43269717 23.672791 24.791722
    Unten links KachelX 74154 KachelY + 1 56215 0.41312020 0.43265365 23.670044 24.789228
    Unten rechts KachelX + 1 74155 KachelY + 1 56215 0.41316814 0.43265365 23.672791 24.789228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43269717-0.43265365) × R
    4.35200000000191e-05 × 6371000     		dl = 277.265920000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43269717-0.43265365) × R
    4.35200000000191e-05 × 6371000     		dr = 277.265920000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41312020-0.41316814) × cos(0.43269717) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90783807337956 × 6371000     		do = 277.277115362266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41312020-0.41316814) × cos(0.43265365) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.9078563213662 × 6371000     		du = 277.282688767089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43269717)-sin(0.43265365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90783807337956-0.9078563213662)×R²
    abs(0.41316814-0.41312020)×1.82479866402963e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82479866402963e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82479866402963e-05×40589641000000     		ar = 76880.2671555911m²