Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74151 / 54911
↖ ↑ ↗
← N 27.996826°
E 23.661804°		 ← 269.68 m → N 27.996826°
E 23.664551°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
N 27.994402°
E 23.661804°		 ← 269.69 m →
72 713 m²		 N 27.994402°
E 23.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565731048583984 y=0.418941497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565731048583984 × 217)
    floor (0.565731048583984 × 131072)
    floor (74151.5)     		tx = 74151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418941497802734 × 217)
    floor (0.418941497802734 × 131072)
    floor (54911.5)     		ty = 54911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74151 / 54911 ti = "17/74151/54911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74151/54911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74151 ÷ 217
    74151 ÷ 131072     		x = 0.565727233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54911 ÷ 217
    54911 ÷ 131072     		y = 0.418937683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565727233886719 × 2 - 1) × π
    0.131454467773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41297639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418937683105469 × 2 - 1) × π
    0.162124633789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.509329558463097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41297639} λ = 0.41297639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509329558463097))-π/2
    2×atan(1.66417508874154)-π/2
    2×1.02971656551125-π/2
    2.05943313102251-1.57079632675     		φ = 0.48863680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41297639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.661804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48863680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.996826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74151 KachelY 54911 0.41297639 0.48863680 23.661804 27.996826
    Oben rechts KachelX + 1 74152 KachelY 54911 0.41302433 0.48863680 23.664551 27.996826
    Unten links KachelX 74151 KachelY + 1 54912 0.41297639 0.48859448 23.661804 27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 74152 KachelY + 1 54912 0.41302433 0.48859448 23.664551 27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48863680-0.48859448) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48863680-0.48859448) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41297639-0.41302433) × cos(0.48863680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882973595796443 × 6371000     		do = 269.682863896413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41297639-0.41302433) × cos(0.48859448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 269.688931232512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48863680)-sin(0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882973595796443-0.882993460972506)×R²
    abs(0.41302433-0.41297639)×1.98651760631163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98651760631163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98651760631163e-05×40589641000000     		ar = 72712.9058860053m²