Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74150 / 61133
↖ ↑ ↗
← N 12.004398°
E 23.659057°		 ← 298.75 m → N 12.004398°
E 23.661804°		 →
↑
298.74 m
↓
↑
298.74 m
↓
N 12.001711°
E 23.659057°		 ← 298.75 m →
89 247 m²		 N 12.001711°
E 23.661804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565723419189453 y=0.466411590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565723419189453 × 217)
    floor (0.565723419189453 × 131072)
    floor (74150.5)     		tx = 74150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466411590576172 × 217)
    floor (0.466411590576172 × 131072)
    floor (61133.5)     		ty = 61133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74150 / 61133 ti = "17/74150/61133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74150/61133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74150 ÷ 217
    74150 ÷ 131072     		x = 0.565719604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61133 ÷ 217
    61133 ÷ 131072     		y = 0.466407775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565719604492188 × 2 - 1) × π
    0.131439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41292845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466407775878906 × 2 - 1) × π
    0.0671844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.211066169027107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41292845} λ = 0.41292845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211066169027107))-π/2
    2×atan(1.23499407071398)-π/2
    2×0.890156298991988-π/2
    1.78031259798398-1.57079632675     		φ = 0.20951627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41292845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.659057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20951627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.004398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74150 KachelY 61133 0.41292845 0.20951627 23.659057 12.004398
    Oben rechts KachelX + 1 74151 KachelY 61133 0.41297639 0.20951627 23.661804 12.004398
    Unten links KachelX 74150 KachelY + 1 61134 0.41292845 0.20946938 23.659057 12.001711
    Unten rechts KachelX + 1 74151 KachelY + 1 61134 0.41297639 0.20946938 23.661804 12.001711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20951627-0.20946938) × R
    4.68899999999939e-05 × 6371000     		dl = 298.736189999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20951627-0.20946938) × R
    4.68899999999939e-05 × 6371000     		dr = 298.736189999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41292845-0.41297639) × cos(0.20951627) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978131638600539 × 6371000     		do = 298.746579537132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41292845-0.41297639) × cos(0.20946938) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978141390025006 × 6371000     		du = 298.749557873166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20951627)-sin(0.20946938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978131638600539-0.978141390025006)×R²
    abs(0.41297639-0.41292845)×9.75142446735244e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.75142446735244e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.75142446735244e-06×40589641000000     		ar = 89246.8598311373m²