Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74150 / 56215
↖ ↑ ↗
← N 24.789228°
E 23.659057°		 ← 277.28 m → N 24.789228°
E 23.661804°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 24.786735°
E 23.659057°		 ← 277.29 m →
76 882 m²		 N 24.786735°
E 23.661804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565723419189453 y=0.428890228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565723419189453 × 217)
    floor (0.565723419189453 × 131072)
    floor (74150.5)     		tx = 74150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428890228271484 × 217)
    floor (0.428890228271484 × 131072)
    floor (56215.5)     		ty = 56215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74150 / 56215 ti = "17/74150/56215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74150/56215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74150 ÷ 217
    74150 ÷ 131072     		x = 0.565719604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56215 ÷ 217
    56215 ÷ 131072     		y = 0.428886413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565719604492188 × 2 - 1) × π
    0.131439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41292845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428886413574219 × 2 - 1) × π
    0.142227172851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.446819841358543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41292845} λ = 0.41292845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446819841358543))-π/2
    2×atan(1.56333262603219)-π/2
    2×1.00172498780677-π/2
    2.00344997561353-1.57079632675     		φ = 0.43265365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41292845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.659057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43265365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.789228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74150 KachelY 56215 0.41292845 0.43265365 23.659057 24.789228
    Oben rechts KachelX + 1 74151 KachelY 56215 0.41297639 0.43265365 23.661804 24.789228
    Unten links KachelX 74150 KachelY + 1 56216 0.41292845 0.43261013 23.659057 24.786735
    Unten rechts KachelX + 1 74151 KachelY + 1 56216 0.41297639 0.43261013 23.661804 24.786735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43265365-0.43261013) × R
    4.35200000000191e-05 × 6371000     		dl = 277.265920000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43265365-0.43261013) × R
    4.35200000000191e-05 × 6371000     		dr = 277.265920000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41292845-0.41297639) × cos(0.43265365) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.9078563213662 × 6371000     		do = 277.282688767089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41292845-0.41297639) × cos(0.43261013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907874567633369 × 6371000     		du = 277.288261646741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43265365)-sin(0.43261013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9078563213662-0.907874567633369)×R²
    abs(0.41297639-0.41292845)×1.82462671690642e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82462671690642e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82462671690642e-05×40589641000000     		ar = 76881.8123980653m²