Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7415 / 7415
↖ ↑ ↗
← S 81.031769°
E145.854492°		 ← 761.74 m → S 81.031769°
E145.898438°		 →
↑
761.46 m
↓
↑
761.46 m
↓
S 81.038617°
E145.854492°		 ← 761.16 m →
579 816 m²		 S 81.038617°
E145.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90521240234375 y=0.90521240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90521240234375 × 213)
    floor (0.90521240234375 × 8192)
    floor (7415.5)     		tx = 7415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90521240234375 × 213)
    floor (0.90521240234375 × 8192)
    floor (7415.5)     		ty = 7415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7415 / 7415 ti = "13/7415/7415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7415/7415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7415 ÷ 213
    7415 ÷ 8192     		x = 0.9051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7415 ÷ 213
    7415 ÷ 8192     		y = 0.9051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9051513671875 × 2 - 1) × π
    0.810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54564112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54564111742346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54564112} λ = 2.54564112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54564111742346))-π/2
    2×atan(0.0784227576638278)-π/2
    2×0.0782625783006318-π/2
    0.156525156601264-1.57079632675     		φ = -1.41427117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54564112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41427117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.031769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7415 KachelY 7415 2.54564112 -1.41427117 145.854492 -81.031769
    Oben rechts KachelX + 1 7416 KachelY 7415 2.54640811 -1.41427117 145.898438 -81.031769
    Unten links KachelX 7415 KachelY + 1 7416 2.54564112 -1.41439069 145.854492 -81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 7416 KachelY + 1 7416 2.54640811 -1.41439069 145.898438 -81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41427117--1.41439069) × R
    0.000119520000000151 × 6371000     		dl = 761.46192000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41427117--1.41439069) × R
    0.000119520000000151 × 6371000     		dr = 761.46192000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54564112-2.54640811) × cos(-1.41427117) × R
    0.000766989999999801 × 0.155886791654559 × 6371000     		do = 761.739761419435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54564112-2.54640811) × cos(-1.41439069) × R
    0.000766989999999801 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 761.162862155872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41427117)-sin(-1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155886791654559-0.155768731682034)×R²
    abs(2.54640811-2.54564112)×0.000118059972525453×R²
    0.000766989999999801×0.000118059972525453×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118059972525453×40589641000000     		ar = 579816.178553033m²