Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7415 / 5692
↖ ↑ ↗
← N 48.048710°
W 17.072754°		 ← 1 633.33 m → N 48.048710°
W 17.050781°		 →
↑
1 633.52 m
↓
↑
1 633.52 m
↓
N 48.034019°
W 17.072754°		 ← 1 633.79 m →
2 668 462 m²		 N 48.034019°
W 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452606201171875 y=0.347442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452606201171875 × 214)
    floor (0.452606201171875 × 16384)
    floor (7415.5)     		tx = 7415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347442626953125 × 214)
    floor (0.347442626953125 × 16384)
    floor (5692.5)     		ty = 5692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7415 / 5692 ti = "14/7415/5692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7415/5692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7415 ÷ 214
    7415 ÷ 16384     		x = 0.45257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5692 ÷ 214
    5692 ÷ 16384     		y = 0.347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.0948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29797577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347412109375 × 2 - 1) × π
    0.30517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29797577} λ = -0.29797577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958737992401123))-π/2
    2×atan(2.60840257152948)-π/2
    2×1.20470225830785-π/2
    2.40940451661569-1.57079632675     		φ = 0.83860819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29797577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.072754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83860819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.048710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7415 KachelY 5692 -0.29797577 0.83860819 -17.072754 48.048710
    Oben rechts KachelX + 1 7416 KachelY 5692 -0.29759227 0.83860819 -17.050781 48.048710
    Unten links KachelX 7415 KachelY + 1 5693 -0.29797577 0.83835179 -17.072754 48.034019
    Unten rechts KachelX + 1 7416 KachelY + 1 5693 -0.29759227 0.83835179 -17.050781 48.034019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83860819-0.83835179) × R
    0.000256399999999934 × 6371000     		dl = 1633.52439999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83860819-0.83835179) × R
    0.000256399999999934 × 6371000     		dr = 1633.52439999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29797577--0.29759227) × cos(0.83860819) × R
    0.000383499999999981 × 0.668498580764785 × 6371000     		do = 1633.32820966303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29797577--0.29759227) × cos(0.83835179) × R
    0.000383499999999981 × 0.668689246909098 × 6371000     		du = 1633.79406015411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83860819)-sin(0.83835179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668498580764785-0.668689246909098)×R²
    abs(-0.29759227--0.29797577)×0.000190666144313623×R²
    0.000383499999999981×0.000190666144313623×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190666144313623×40589641000000     		ar = 2668461.98738235m²