Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7415 / 5691
↖ ↑ ↗
← N 48.063397°
W 17.072754°		 ← 1 632.86 m → N 48.063397°
W 17.050781°		 →
↑
1 633.08 m
↓
↑
1 633.08 m
↓
N 48.048710°
W 17.072754°		 ← 1 633.33 m →
2 666 973 m²		 N 48.048710°
W 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452606201171875 y=0.347381591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452606201171875 × 214)
    floor (0.452606201171875 × 16384)
    floor (7415.5)     		tx = 7415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347381591796875 × 214)
    floor (0.347381591796875 × 16384)
    floor (5691.5)     		ty = 5691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7415 / 5691 ti = "14/7415/5691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7415/5691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7415 ÷ 214
    7415 ÷ 16384     		x = 0.45257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5691 ÷ 214
    5691 ÷ 16384     		y = 0.34735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.0948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29797577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34735107421875 × 2 - 1) × π
    0.3052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.959121487598083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29797577} λ = -0.29797577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959121487598083))-π/2
    2×atan(2.60940307321894)-π/2
    2×1.20483042302608-π/2
    2.40966084605217-1.57079632675     		φ = 0.83886452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29797577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.072754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83886452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.063397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7415 KachelY 5691 -0.29797577 0.83886452 -17.072754 48.063397
    Oben rechts KachelX + 1 7416 KachelY 5691 -0.29759227 0.83886452 -17.050781 48.063397
    Unten links KachelX 7415 KachelY + 1 5692 -0.29797577 0.83860819 -17.072754 48.048710
    Unten rechts KachelX + 1 7416 KachelY + 1 5692 -0.29759227 0.83860819 -17.050781 48.048710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83886452-0.83860819) × R
    0.000256330000000027 × 6371000     		dl = 1633.07843000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83886452-0.83860819) × R
    0.000256330000000027 × 6371000     		dr = 1633.07843000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29797577--0.29759227) × cos(0.83886452) × R
    0.000383499999999981 × 0.668307922744667 × 6371000     		do = 1632.86237902163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29797577--0.29759227) × cos(0.83860819) × R
    0.000383499999999981 × 0.668498580764785 × 6371000     		du = 1633.32820966303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83886452)-sin(0.83860819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668307922744667-0.668498580764785)×R²
    abs(-0.29759227--0.29797577)×0.000190658020117862×R²
    0.000383499999999981×0.000190658020117862×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190658020117862×40589641000000     		ar = 2666972.7139285m²