Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74149 / 78267
↖ ↑ ↗
← S 32.978716°
E 23.656311°		 ← 256.16 m → S 32.978716°
E 23.659057°		 →
↑
256.18 m
↓
↑
256.18 m
↓
S 32.981020°
E 23.656311°		 ← 256.15 m →
65 622 m²		 S 32.981020°
E 23.659057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565715789794922 y=0.597133636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565715789794922 × 217)
    floor (0.565715789794922 × 131072)
    floor (74149.5)     		tx = 74149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597133636474609 × 217)
    floor (0.597133636474609 × 131072)
    floor (78267.5)     		ty = 78267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74149 / 78267 ti = "17/74149/78267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74149/78267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74149 ÷ 217
    74149 ÷ 131072     		x = 0.565711975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78267 ÷ 217
    78267 ÷ 131072     		y = 0.597129821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565711975097656 × 2 - 1) × π
    0.131423950195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41288052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597129821777344 × 2 - 1) × π
    -0.194259643554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.610284669062935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41288052} λ = 0.41288052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610284669062935))-π/2
    2×atan(0.543196215905286)-π/2
    2×0.497604573490578-π/2
    0.995209146981156-1.57079632675     		φ = -0.57558718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41288052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.656311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57558718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.978716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74149 KachelY 78267 0.41288052 -0.57558718 23.656311 -32.978716
    Oben rechts KachelX + 1 74150 KachelY 78267 0.41292845 -0.57558718 23.659057 -32.978716
    Unten links KachelX 74149 KachelY + 1 78268 0.41288052 -0.57562739 23.656311 -32.981020
    Unten rechts KachelX + 1 74150 KachelY + 1 78268 0.41292845 -0.57562739 23.659057 -32.981020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57558718--0.57562739) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dl = 256.177909999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57558718--0.57562739) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dr = 256.177909999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41288052-0.41292845) × cos(-0.57558718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.838872828858106 × 6371000     		do = 256.15990993211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41288052-0.41292845) × cos(-0.57562739) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.838850940773029 × 6371000     		du = 256.153226142019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57558718)-sin(-0.57562739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838872828858106-0.838850940773029)×R²
    abs(0.41292845-0.41288052)×2.18880850763048e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18880850763048e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18880850763048e-05×40589641000000     		ar = 65621.6542413978m²