Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74148 / 61102
↖ ↑ ↗
← N 12.087667°
E 23.653564°		 ← 298.65 m → N 12.087667°
E 23.656311°		 →
↑
298.61 m
↓
↑
298.61 m
↓
N 12.084982°
E 23.653564°		 ← 298.66 m →
89 181 m²		 N 12.084982°
E 23.656311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565708160400391 y=0.466175079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565708160400391 × 217)
    floor (0.565708160400391 × 131072)
    floor (74148.5)     		tx = 74148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466175079345703 × 217)
    floor (0.466175079345703 × 131072)
    floor (61102.5)     		ty = 61102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74148 / 61102 ti = "17/74148/61102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74148/61102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74148 ÷ 217
    74148 ÷ 131072     		x = 0.565704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61102 ÷ 217
    61102 ÷ 131072     		y = 0.466171264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565704345703125 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41283258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466171264648438 × 2 - 1) × π
    0.067657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.212552212915329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41283258} λ = 0.41283258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.212552212915329))-π/2
    2×atan(1.23683069041551)-π/2
    2×0.890882959704638-π/2
    1.78176591940928-1.57079632675     		φ = 0.21096959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41283258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.653564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21096959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.087667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74148 KachelY 61102 0.41283258 0.21096959 23.653564 12.087667
    Oben rechts KachelX + 1 74149 KachelY 61102 0.41288052 0.21096959 23.656311 12.087667
    Unten links KachelX 74148 KachelY + 1 61103 0.41283258 0.21092272 23.653564 12.084982
    Unten rechts KachelX + 1 74149 KachelY + 1 61103 0.41288052 0.21092272 23.656311 12.084982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21096959-0.21092272) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dl = 298.608770000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21096959-0.21092272) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dr = 298.608770000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41283258-0.41288052) × cos(0.21096959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977828334395798 × 6371000     		do = 298.653942625608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41283258-0.41288052) × cos(0.21092272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977838148278961 × 6371000     		du = 298.656940038136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21096959)-sin(0.21092272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977828334395798-0.977838148278961)×R²
    abs(0.41288052-0.41283258)×9.81388316267928e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.81388316267928e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.81388316267928e-06×40589641000000     		ar = 89181.1340062706m²