Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74147 / 90339
↖ ↑ ↗
← S 56.125654°
E 23.650818°		 ← 170.24 m → S 56.125654°
E 23.653564°		 →
↑
170.17 m
↓
↑
170.17 m
↓
S 56.127184°
E 23.650818°		 ← 170.23 m →
28 968 m²		 S 56.127184°
E 23.653564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565700531005859 y=0.689235687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565700531005859 × 217)
    floor (0.565700531005859 × 131072)
    floor (74147.5)     		tx = 74147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689235687255859 × 217)
    floor (0.689235687255859 × 131072)
    floor (90339.5)     		ty = 90339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74147 / 90339 ti = "17/74147/90339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74147/90339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74147 ÷ 217
    74147 ÷ 131072     		x = 0.565696716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90339 ÷ 217
    90339 ÷ 131072     		y = 0.689231872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565696716308594 × 2 - 1) × π
    0.131393432617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.41278464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689231872558594 × 2 - 1) × π
    -0.378463745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.18897892127625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41278464} λ = 0.41278464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18897892127625))-π/2
    2×atan(0.304532056571558)-π/2
    2×0.295609440819255-π/2
    0.59121888163851-1.57079632675     		φ = -0.97957745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41278464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.650818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97957745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.125654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74147 KachelY 90339 0.41278464 -0.97957745 23.650818 -56.125654
    Oben rechts KachelX + 1 74148 KachelY 90339 0.41283258 -0.97957745 23.653564 -56.125654
    Unten links KachelX 74147 KachelY + 1 90340 0.41278464 -0.97960416 23.650818 -56.127184
    Unten rechts KachelX + 1 74148 KachelY + 1 90340 0.41283258 -0.97960416 23.653564 -56.127184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97957745--0.97960416) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dl = 170.169409999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97957745--0.97960416) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dr = 170.169409999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41278464-0.41283258) × cos(-0.97957745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557373423691906 × 6371000     		do = 170.236190387519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41278464-0.41283258) × cos(-0.97960416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55735124719703 × 6371000     		du = 170.229417115161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97957745)-sin(-0.97960416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557373423691906-0.55735124719703)×R²
    abs(0.41283258-0.41278464)×2.21764948754588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21764948754588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21764948754588e-05×40589641000000     		ar = 28968.4157789193m²