Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74146 / 61098
↖ ↑ ↗
← N 12.098410°
E 23.648072°		 ← 298.58 m → N 12.098410°
E 23.650818°		 →
↑
298.67 m
↓
↑
298.67 m
↓
N 12.095724°
E 23.648072°		 ← 298.58 m →
89 178 m²		 N 12.095724°
E 23.650818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565692901611328 y=0.466144561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565692901611328 × 217)
    floor (0.565692901611328 × 131072)
    floor (74146.5)     		tx = 74146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466144561767578 × 217)
    floor (0.466144561767578 × 131072)
    floor (61098.5)     		ty = 61098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74146 / 61098 ti = "17/74146/61098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74146/61098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74146 ÷ 217
    74146 ÷ 131072     		x = 0.565689086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61098 ÷ 217
    61098 ÷ 131072     		y = 0.466140747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565689086914062 × 2 - 1) × π
    0.131378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41273671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466140747070312 × 2 - 1) × π
    0.067718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.212743960513809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41273671} λ = 0.41273671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.212743960513809))-π/2
    2×atan(1.23706787246894)-π/2
    2×0.890976705939328-π/2
    1.78195341187866-1.57079632675     		φ = 0.21115709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41273671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.648072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21115709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.098410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74146 KachelY 61098 0.41273671 0.21115709 23.648072 12.098410
    Oben rechts KachelX + 1 74147 KachelY 61098 0.41278464 0.21115709 23.650818 12.098410
    Unten links KachelX 74146 KachelY + 1 61099 0.41273671 0.21111021 23.648072 12.095724
    Unten rechts KachelX + 1 74147 KachelY + 1 61099 0.41278464 0.21111021 23.650818 12.095724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21115709-0.21111021) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.672479999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21115709-0.21111021) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.672479999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41273671-0.41278464) × cos(0.21115709) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.977789053190633 × 6371000     		do = 298.579650193907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41273671-0.41278464) × cos(0.21111021) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.977798877762399 × 6371000     		du = 298.582650245085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21115709)-sin(0.21111021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977789053190633-0.977798877762399)×R²
    abs(0.41278464-0.41273671)×9.82457176679219e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.82457176679219e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.82457176679219e-06×40589641000000     		ar = 89177.9726336448m²