Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74145 / 61145
↖ ↑ ↗
← N 11.972158°
E 23.645325°		 ← 298.78 m → N 11.972158°
E 23.648072°		 →
↑
298.74 m
↓
↑
298.74 m
↓
N 11.969471°
E 23.645325°		 ← 298.79 m →
89 258 m²		 N 11.969471°
E 23.648072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565685272216797 y=0.466503143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565685272216797 × 217)
    floor (0.565685272216797 × 131072)
    floor (74145.5)     		tx = 74145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466503143310547 × 217)
    floor (0.466503143310547 × 131072)
    floor (61145.5)     		ty = 61145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74145 / 61145 ti = "17/74145/61145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74145/61145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74145 ÷ 217
    74145 ÷ 131072     		x = 0.565681457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61145 ÷ 217
    61145 ÷ 131072     		y = 0.466499328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565681457519531 × 2 - 1) × π
    0.131362915039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41268877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466499328613281 × 2 - 1) × π
    0.0670013427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.210490926231667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41268877} λ = 0.41268877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.210490926231667))-π/2
    2×atan(1.23428385356563)-π/2
    2×0.889874950587523-π/2
    1.77974990117505-1.57079632675     		φ = 0.20895357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41268877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.645325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20895357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.972158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74145 KachelY 61145 0.41268877 0.20895357 23.645325 11.972158
    Oben rechts KachelX + 1 74146 KachelY 61145 0.41273671 0.20895357 23.648072 11.972158
    Unten links KachelX 74145 KachelY + 1 61146 0.41268877 0.20890668 23.645325 11.969471
    Unten rechts KachelX + 1 74146 KachelY + 1 61146 0.41273671 0.20890668 23.648072 11.969471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20895357-0.20890668) × R
    4.68899999999939e-05 × 6371000     		dl = 298.736189999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20895357-0.20890668) × R
    4.68899999999939e-05 × 6371000     		dr = 298.736189999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41268877-0.41273671) × cos(0.20895357) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978248517897757 × 6371000     		do = 298.782277482976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41268877-0.41273671) × cos(0.20890668) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978258243512547 × 6371000     		du = 298.78524793607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20895357)-sin(0.20890668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978248517897757-0.978258243512547)×R²
    abs(0.41273671-0.41268877)×9.72561479006817e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.72561479006817e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.72561479006817e-06×40589641000000     		ar = 89257.522922076m²