Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74143 / 90529
↖ ↑ ↗
← S 56.415421°
E 23.639832°		 ← 168.92 m → S 56.415421°
E 23.642578°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.416940°
E 23.639832°		 ← 168.91 m →
28 539 m²		 S 56.416940°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565670013427734 y=0.690685272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565670013427734 × 217)
    floor (0.565670013427734 × 131072)
    floor (74143.5)     		tx = 74143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690685272216797 × 217)
    floor (0.690685272216797 × 131072)
    floor (90529.5)     		ty = 90529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74143 / 90529 ti = "17/74143/90529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74143/90529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74143 ÷ 217
    74143 ÷ 131072     		x = 0.565666198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90529 ÷ 217
    90529 ÷ 131072     		y = 0.690681457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565666198730469 × 2 - 1) × π
    0.131332397460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41259290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690681457519531 × 2 - 1) × π
    -0.381362915039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.19808693220406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41259290} λ = 0.41259290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19808693220406))-π/2
    2×atan(0.301770968370535)-π/2
    2×0.293080743124861-π/2
    0.586161486249721-1.57079632675     		φ = -0.98463484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41259290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.639832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98463484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.415421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74143 KachelY 90529 0.41259290 -0.98463484 23.639832 -56.415421
    Oben rechts KachelX + 1 74144 KachelY 90529 0.41264083 -0.98463484 23.642578 -56.415421
    Unten links KachelX 74143 KachelY + 1 90530 0.41259290 -0.98466136 23.639832 -56.416940
    Unten rechts KachelX + 1 74144 KachelY + 1 90530 0.41264083 -0.98466136 23.642578 -56.416940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98463484--0.98466136) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98463484--0.98466136) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41259290-0.41264083) × cos(-0.98463484) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.553167355218325 × 6371000     		do = 168.916306519302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41259290-0.41264083) × cos(-0.98466136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.553145262003389 × 6371000     		du = 168.90956009034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98463484)-sin(-0.98466136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553167355218325-0.553145262003389)×R²
    abs(0.41264083-0.41259290)×2.20932149361808e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20932149361808e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20932149361808e-05×40589641000000     		ar = 28539.3467867912m²