Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74143 / 61089
↖ ↑ ↗
← N 12.122579°
E 23.639832°		 ← 298.55 m → N 12.122579°
E 23.642578°		 →
↑
298.61 m
↓
↑
298.61 m
↓
N 12.119894°
E 23.639832°		 ← 298.56 m →
89 151 m²		 N 12.119894°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565670013427734 y=0.466075897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565670013427734 × 217)
    floor (0.565670013427734 × 131072)
    floor (74143.5)     		tx = 74143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466075897216797 × 217)
    floor (0.466075897216797 × 131072)
    floor (61089.5)     		ty = 61089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74143 / 61089 ti = "17/74143/61089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74143/61089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74143 ÷ 217
    74143 ÷ 131072     		x = 0.565666198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61089 ÷ 217
    61089 ÷ 131072     		y = 0.466072082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565666198730469 × 2 - 1) × π
    0.131332397460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41259290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466072082519531 × 2 - 1) × π
    0.0678558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.21317539261039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41259290} λ = 0.41259290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21317539261039))-π/2
    2×atan(1.23760169840132)-π/2
    2×0.891187621187817-π/2
    1.78237524237563-1.57079632675     		φ = 0.21157892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41259290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.639832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21157892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.122579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74143 KachelY 61089 0.41259290 0.21157892 23.639832 12.122579
    Oben rechts KachelX + 1 74144 KachelY 61089 0.41264083 0.21157892 23.642578 12.122579
    Unten links KachelX 74143 KachelY + 1 61090 0.41259290 0.21153205 23.639832 12.119894
    Unten rechts KachelX + 1 74144 KachelY + 1 61090 0.41264083 0.21153205 23.642578 12.119894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21157892-0.21153205) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dl = 298.608770000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21157892-0.21153205) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dr = 298.608770000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41259290-0.41264083) × cos(0.21157892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977700554246248 × 6371000     		do = 298.552625976942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41259290-0.41264083) × cos(0.21153205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977710396053817 × 6371000     		du = 298.55563129128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21157892)-sin(0.21153205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977700554246248-0.977710396053817)×R²
    abs(0.41264083-0.41259290)×9.84180756913311e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.84180756913311e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.84180756913311e-06×40589641000000     		ar = 89150.8811461677m²