Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74143 / 53347
↖ ↑ ↗
← N 31.721159°
E 23.639832°		 ← 259.75 m → N 31.721159°
E 23.642578°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
N 31.718822°
E 23.639832°		 ← 259.75 m →
67 485 m²		 N 31.718822°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565670013427734 y=0.407009124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565670013427734 × 217)
    floor (0.565670013427734 × 131072)
    floor (74143.5)     		tx = 74143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407009124755859 × 217)
    floor (0.407009124755859 × 131072)
    floor (53347.5)     		ty = 53347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74143 / 53347 ti = "17/74143/53347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74143/53347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74143 ÷ 217
    74143 ÷ 131072     		x = 0.565666198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53347 ÷ 217
    53347 ÷ 131072     		y = 0.407005310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565666198730469 × 2 - 1) × π
    0.131332397460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41259290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407005310058594 × 2 - 1) × π
    0.185989379882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.584302869468864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41259290} λ = 0.41259290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584302869468864))-π/2
    2×atan(1.79374007869407)-π/2
    2×1.0622174929507-π/2
    2.1244349859014-1.57079632675     		φ = 0.55363866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41259290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.639832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55363866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.721159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74143 KachelY 53347 0.41259290 0.55363866 23.639832 31.721159
    Oben rechts KachelX + 1 74144 KachelY 53347 0.41264083 0.55363866 23.642578 31.721159
    Unten links KachelX 74143 KachelY + 1 53348 0.41259290 0.55359788 23.639832 31.718822
    Unten rechts KachelX + 1 74144 KachelY + 1 53348 0.41264083 0.55359788 23.642578 31.718822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55363866-0.55359788) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55363866-0.55359788) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41259290-0.41264083) × cos(0.55363866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.850617001503132 × 6371000     		do = 259.746134331669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41259290-0.41264083) × cos(0.55359788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.850638442341118 × 6371000     		du = 259.752681549481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55363866)-sin(0.55359788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850617001503132-0.850638442341118)×R²
    abs(0.41264083-0.41259290)×2.14408379859421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14408379859421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14408379859421e-05×40589641000000     		ar = 67485.3326416807m²