Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74142 / 60798
↖ ↑ ↗
← N 12.902844°
E 23.637085°		 ← 297.71 m → N 12.902844°
E 23.639832°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.900167°
E 23.637085°		 ← 297.72 m →
88 635 m²		 N 12.900167°
E 23.639832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565662384033203 y=0.463855743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565662384033203 × 217)
    floor (0.565662384033203 × 131072)
    floor (74142.5)     		tx = 74142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463855743408203 × 217)
    floor (0.463855743408203 × 131072)
    floor (60798.5)     		ty = 60798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74142 / 60798 ti = "17/74142/60798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74142/60798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74142 ÷ 217
    74142 ÷ 131072     		x = 0.565658569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60798 ÷ 217
    60798 ÷ 131072     		y = 0.463851928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565658569335938 × 2 - 1) × π
    0.131317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41254496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463851928710938 × 2 - 1) × π
    0.072296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.227125030399826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41254496} λ = 0.41254496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227125030399826))-π/2
    2×atan(1.25498676962892)-π/2
    2×0.897996716141146-π/2
    1.79599343228229-1.57079632675     		φ = 0.22519711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41254496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.637085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22519711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.902844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74142 KachelY 60798 0.41254496 0.22519711 23.637085 12.902844
    Oben rechts KachelX + 1 74143 KachelY 60798 0.41259290 0.22519711 23.639832 12.902844
    Unten links KachelX 74142 KachelY + 1 60799 0.41254496 0.22515038 23.637085 12.900167
    Unten rechts KachelX + 1 74143 KachelY + 1 60799 0.41259290 0.22515038 23.639832 12.900167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22519711-0.22515038) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22519711-0.22515038) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41254496-0.41259290) × cos(0.22519711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974750111637666 × 6371000     		do = 297.713774161822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41254496-0.41259290) × cos(0.22515038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974760545312265 × 6371000     		du = 297.716960874607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22519711)-sin(0.22515038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974750111637666-0.974760545312265)×R²
    abs(0.41259290-0.41254496)×1.04336745987421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04336745987421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04336745987421e-05×40589641000000     		ar = 88634.8754759066m²