Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74141 / 90426
↖ ↑ ↗
← S 56.258608°
E 23.634338°		 ← 169.65 m → S 56.258608°
E 23.637085°		 →
↑
169.66 m
↓
↑
169.66 m
↓
S 56.260134°
E 23.634338°		 ← 169.64 m →
28 782 m²		 S 56.260134°
E 23.637085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565654754638672 y=0.689899444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565654754638672 × 217)
    floor (0.565654754638672 × 131072)
    floor (74141.5)     		tx = 74141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689899444580078 × 217)
    floor (0.689899444580078 × 131072)
    floor (90426.5)     		ty = 90426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74141 / 90426 ti = "17/74141/90426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74141/90426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74141 ÷ 217
    74141 ÷ 131072     		x = 0.565650939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90426 ÷ 217
    90426 ÷ 131072     		y = 0.689895629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565650939941406 × 2 - 1) × π
    0.131301879882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41249702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689895629882812 × 2 - 1) × π
    -0.379791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1931494315432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41249702} λ = 0.41249702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1931494315432))-π/2
    2×atan(0.303264647211906)-π/2
    2×0.294449185979521-π/2
    0.588898371959041-1.57079632675     		φ = -0.98189795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41249702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.634338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98189795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.258608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74141 KachelY 90426 0.41249702 -0.98189795 23.634338 -56.258608
    Oben rechts KachelX + 1 74142 KachelY 90426 0.41254496 -0.98189795 23.637085 -56.258608
    Unten links KachelX 74141 KachelY + 1 90427 0.41249702 -0.98192458 23.634338 -56.260134
    Unten rechts KachelX + 1 74142 KachelY + 1 90427 0.41254496 -0.98192458 23.637085 -56.260134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98189795--0.98192458) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dl = 169.659730000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98189795--0.98192458) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dr = 169.659730000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41249702-0.41254496) × cos(-0.98189795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555445301971256 × 6371000     		do = 169.647292384179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41249702-0.41254496) × cos(-0.98192458) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555423157515923 × 6371000     		du = 169.640528897522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98189795)-sin(-0.98192458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555445301971256-0.555423157515923)×R²
    abs(0.41254496-0.41249702)×2.21444553331063e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21444553331063e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21444553331063e-05×40589641000000     		ar = 28781.7400772348m²