Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7414 / 7454
↖ ↑ ↗
← S 81.295029°
E145.810547°		 ← 739.55 m → S 81.295029°
E145.854492°		 →
↑
739.29 m
↓
↑
739.29 m
↓
S 81.301678°
E145.810547°		 ← 738.99 m →
546 538 m²		 S 81.301678°
E145.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90509033203125 y=0.90997314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90509033203125 × 213)
    floor (0.90509033203125 × 8192)
    floor (7414.5)     		tx = 7414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90997314453125 × 213)
    floor (0.90997314453125 × 8192)
    floor (7454.5)     		ty = 7454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7414 / 7454 ti = "13/7414/7454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7414/7454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7414 ÷ 213
    7414 ÷ 8192     		x = 0.905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7454 ÷ 213
    7454 ÷ 8192     		y = 0.909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905029296875 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54487413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.81982421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57555374278638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54487413} λ = 2.54487413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57555374278638))-π/2
    2×atan(0.07611166484199)-π/2
    2×0.0759652023215346-π/2
    0.151930404643069-1.57079632675     		φ = -1.41886592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54487413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41886592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.295029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7414 KachelY 7454 2.54487413 -1.41886592 145.810547 -81.295029
    Oben rechts KachelX + 1 7415 KachelY 7454 2.54564112 -1.41886592 145.854492 -81.295029
    Unten links KachelX 7414 KachelY + 1 7455 2.54487413 -1.41898196 145.810547 -81.301678
    Unten rechts KachelX + 1 7415 KachelY + 1 7455 2.54564112 -1.41898196 145.854492 -81.301678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41886592--1.41898196) × R
    0.000116039999999984 × 6371000     		dl = 739.290839999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41886592--1.41898196) × R
    0.000116039999999984 × 6371000     		dr = 739.290839999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54487413-2.54564112) × cos(-1.41886592) × R
    0.000766989999999801 × 0.151346583257271 × 6371000     		do = 739.554063550891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54487413-2.54564112) × cos(-1.41898196) × R
    0.000766989999999801 × 0.151231878931244 × 6371000     		du = 738.993561631425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41886592)-sin(-1.41898196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151346583257271-0.151231878931244)×R²
    abs(2.54564112-2.54487413)×0.000114704326027421×R²
    0.000766989999999801×0.000114704326027421×6371000²
    0.000766989999999801×0.000114704326027421×40589641000000     		ar = 546538.358514928m²