Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7414 / 5694
↖ ↑ ↗
← N 48.019324°
W 17.094726°		 ← 1 634.22 m → N 48.019324°
W 17.072754°		 →
↑
1 634.48 m
↓
↑
1 634.48 m
↓
N 48.004625°
W 17.094726°		 ← 1 634.68 m →
2 671 476 m²		 N 48.004625°
W 17.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452545166015625 y=0.347564697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452545166015625 × 214)
    floor (0.452545166015625 × 16384)
    floor (7414.5)     		tx = 7414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347564697265625 × 214)
    floor (0.347564697265625 × 16384)
    floor (5694.5)     		ty = 5694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7414 / 5694 ti = "14/7414/5694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7414/5694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7414 ÷ 214
    7414 ÷ 16384     		x = 0.4525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5694 ÷ 214
    5694 ÷ 16384     		y = 0.3475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29835926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3475341796875 × 2 - 1) × π
    0.304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.957971002007202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29835926} λ = -0.29835926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957971002007202))-π/2
    2×atan(2.60640271884558)-π/2
    2×1.20444581919195-π/2
    2.4088916383839-1.57079632675     		φ = 0.83809531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29835926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83809531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.019324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7414 KachelY 5694 -0.29835926 0.83809531 -17.094726 48.019324
    Oben rechts KachelX + 1 7415 KachelY 5694 -0.29797577 0.83809531 -17.072754 48.019324
    Unten links KachelX 7414 KachelY + 1 5695 -0.29835926 0.83783876 -17.094726 48.004625
    Unten rechts KachelX + 1 7415 KachelY + 1 5695 -0.29797577 0.83783876 -17.072754 48.004625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83809531-0.83783876) × R
    0.000256550000000022 × 6371000     		dl = 1634.48005000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83809531-0.83783876) × R
    0.000256550000000022 × 6371000     		dr = 1634.48005000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29835926--0.29797577) × cos(0.83809531) × R
    0.000383490000000042 × 0.668879928562778 × 6371000     		do = 1634.2173341989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29835926--0.29797577) × cos(0.83783876) × R
    0.000383490000000042 × 0.669070618240126 × 6371000     		du = 1634.6832300389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83809531)-sin(0.83783876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668879928562778-0.669070618240126)×R²
    abs(-0.29797577--0.29835926)×0.000190689677347256×R²
    0.000383490000000042×0.000190689677347256×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190689677347256×40589641000000     		ar = 2671476.39349353m²