Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74139 / 56159
↖ ↑ ↗
← N 24.928786°
E 23.628845°		 ← 276.91 m → N 24.928786°
E 23.631592°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.926295°
E 23.628845°		 ← 276.92 m →
76 709 m²		 N 24.926295°
E 23.631592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565639495849609 y=0.428462982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565639495849609 × 217)
    floor (0.565639495849609 × 131072)
    floor (74139.5)     		tx = 74139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428462982177734 × 217)
    floor (0.428462982177734 × 131072)
    floor (56159.5)     		ty = 56159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74139 / 56159 ti = "17/74139/56159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74139/56159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74139 ÷ 217
    74139 ÷ 131072     		x = 0.565635681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56159 ÷ 217
    56159 ÷ 131072     		y = 0.428459167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565635681152344 × 2 - 1) × π
    0.131271362304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41240115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428459167480469 × 2 - 1) × π
    0.143081665039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.449504307737267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41240115} λ = 0.41240115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449504307737267))-π/2
    2×atan(1.56753497791807)-π/2
    2×1.00294285597548-π/2
    2.00588571195097-1.57079632675     		φ = 0.43508939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41240115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.628845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43508939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.928786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74139 KachelY 56159 0.41240115 0.43508939 23.628845 24.928786
    Oben rechts KachelX + 1 74140 KachelY 56159 0.41244908 0.43508939 23.631592 24.928786
    Unten links KachelX 74139 KachelY + 1 56160 0.41240115 0.43504591 23.628845 24.926295
    Unten rechts KachelX + 1 74140 KachelY + 1 56160 0.41244908 0.43504591 23.631592 24.926295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43508939-0.43504591) × R
    4.34800000000402e-05 × 6371000     		dl = 277.011080000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43508939-0.43504591) × R
    4.34800000000402e-05 × 6371000     		dr = 277.011080000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41240115-0.41244908) × cos(0.43508939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906832368800403 × 6371000     		do = 276.912173006769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41240115-0.41244908) × cos(0.43504591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906850694392099 × 6371000     		du = 276.91776894665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43508939)-sin(0.43504591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906832368800403-0.906850694392099)×R²
    abs(0.41244908-0.41240115)×1.83255916955671e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83255916955671e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83255916955671e-05×40589641000000     		ar = 76708.5151906104m²