Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74138 / 55010
↖ ↑ ↗
← N 27.756469°
E 23.626099°		 ← 270.28 m → N 27.756469°
E 23.628845°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 27.754038°
E 23.626099°		 ← 270.29 m →
73 047 m²		 N 27.754038°
E 23.628845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565631866455078 y=0.419696807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565631866455078 × 217)
    floor (0.565631866455078 × 131072)
    floor (74138.5)     		tx = 74138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419696807861328 × 217)
    floor (0.419696807861328 × 131072)
    floor (55010.5)     		ty = 55010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74138 / 55010 ti = "17/74138/55010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74138/55010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74138 ÷ 217
    74138 ÷ 131072     		x = 0.565628051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55010 ÷ 217
    55010 ÷ 131072     		y = 0.419692993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565628051757812 × 2 - 1) × π
    0.131256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41235321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419692993164062 × 2 - 1) × π
    0.160614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.504583805400711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41235321} λ = 0.41235321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504583805400711))-π/2
    2×atan(1.65629603552604)-π/2
    2×1.02761904881608-π/2
    2.05523809763217-1.57079632675     		φ = 0.48444177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41235321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.626099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48444177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.756469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74138 KachelY 55010 0.41235321 0.48444177 23.626099 27.756469
    Oben rechts KachelX + 1 74139 KachelY 55010 0.41240115 0.48444177 23.628845 27.756469
    Unten links KachelX 74138 KachelY + 1 55011 0.41235321 0.48439935 23.626099 27.754038
    Unten rechts KachelX + 1 74139 KachelY + 1 55011 0.41240115 0.48439935 23.628845 27.754038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48444177-0.48439935) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48444177-0.48439935) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41235321-0.41240115) × cos(0.48444177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		do = 270.281946390961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41235321-0.41240115) × cos(0.48439935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884954817556097 × 6371000     		du = 270.287980018459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48444177)-sin(0.48439935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884935062745982-0.884954817556097)×R²
    abs(0.41240115-0.41235321)×1.9754810114514e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9754810114514e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9754810114514e-05×40589641000000     		ar = 73046.6249454564m²