Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74136 / 61078
↖ ↑ ↗
← N 12.152116°
E 23.620606°		 ← 298.52 m → N 12.152116°
E 23.623352°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
N 12.149431°
E 23.620606°		 ← 298.52 m →
89 122 m²		 N 12.149431°
E 23.623352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565616607666016 y=0.465991973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565616607666016 × 217)
    floor (0.565616607666016 × 131072)
    floor (74136.5)     		tx = 74136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465991973876953 × 217)
    floor (0.465991973876953 × 131072)
    floor (61078.5)     		ty = 61078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74136 / 61078 ti = "17/74136/61078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74136/61078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74136 ÷ 217
    74136 ÷ 131072     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61078 ÷ 217
    61078 ÷ 131072     		y = 0.465988159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465988159179688 × 2 - 1) × π
    0.068023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.21370269850621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21370269850621))-π/2
    2×atan(1.23825446516232)-π/2
    2×0.891445380538025-π/2
    1.78289076107605-1.57079632675     		φ = 0.21209443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21209443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.152116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74136 KachelY 61078 0.41225734 0.21209443 23.620606 12.152116
    Oben rechts KachelX + 1 74137 KachelY 61078 0.41230527 0.21209443 23.623352 12.152116
    Unten links KachelX 74136 KachelY + 1 61079 0.41225734 0.21204757 23.620606 12.149431
    Unten rechts KachelX + 1 74137 KachelY + 1 61079 0.41230527 0.21204757 23.623352 12.149431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21209443-0.21204757) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dl = 298.545060000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21209443-0.21204757) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dr = 298.545060000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41230527) × cos(0.21209443) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.977592165242791 × 6371000     		do = 298.519528090471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41230527) × cos(0.21204757) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.977602028567705 × 6371000     		du = 298.522539975389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21209443)-sin(0.21204757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977592165242791-0.977602028567705)×R²
    abs(0.41230527-0.41225734)×9.86332491426101e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.86332491426101e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.86332491426101e-06×40589641000000     		ar = 89121.9800329684m²