Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74136 / 56699
↖ ↑ ↗
← N 23.576574°
E 23.620606°		 ← 279.87 m → N 23.576574°
E 23.623352°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
N 23.574057°
E 23.620606°		 ← 279.88 m →
78 349 m²		 N 23.574057°
E 23.623352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565616607666016 y=0.432582855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565616607666016 × 217)
    floor (0.565616607666016 × 131072)
    floor (74136.5)     		tx = 74136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432582855224609 × 217)
    floor (0.432582855224609 × 131072)
    floor (56699.5)     		ty = 56699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74136 / 56699 ti = "17/74136/56699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74136/56699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74136 ÷ 217
    74136 ÷ 131072     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56699 ÷ 217
    56699 ÷ 131072     		y = 0.432579040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432579040527344 × 2 - 1) × π
    0.134841918945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.423618381942436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423618381942436))-π/2
    2×atan(1.52747856914024)-π/2
    2×0.991142587378333-π/2
    1.98228517475667-1.57079632675     		φ = 0.41148885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41148885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.576574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74136 KachelY 56699 0.41225734 0.41148885 23.620606 23.576574
    Oben rechts KachelX + 1 74137 KachelY 56699 0.41230527 0.41148885 23.623352 23.576574
    Unten links KachelX 74136 KachelY + 1 56700 0.41225734 0.41144491 23.620606 23.574057
    Unten rechts KachelX + 1 74137 KachelY + 1 56700 0.41230527 0.41144491 23.623352 23.574057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41148885-0.41144491) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41148885-0.41144491) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41230527) × cos(0.41148885) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916526337058989 × 6371000     		do = 279.872342832644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41230527) × cos(0.41144491) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916543911046748 × 6371000     		du = 279.877709261222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41148885)-sin(0.41144491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916526337058989-0.916543911046748)×R²
    abs(0.41230527-0.41225734)×1.75739877594783e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.75739877594783e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.75739877594783e-05×40589641000000     		ar = 78348.7017868476m²