Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74133 / 60544
↖ ↑ ↗
← N 13.581921°
E 23.612366°		 ← 296.82 m → N 13.581921°
E 23.615112°		 →
↑
296.89 m
↓
↑
296.89 m
↓
N 13.579251°
E 23.612366°		 ← 296.83 m →
88 124 m²		 N 13.579251°
E 23.615112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565593719482422 y=0.461917877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565593719482422 × 217)
    floor (0.565593719482422 × 131072)
    floor (74133.5)     		tx = 74133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461917877197266 × 217)
    floor (0.461917877197266 × 131072)
    floor (60544.5)     		ty = 60544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74133 / 60544 ti = "17/74133/60544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74133/60544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74133 ÷ 217
    74133 ÷ 131072     		x = 0.565589904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60544 ÷ 217
    60544 ÷ 131072     		y = 0.4619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565589904785156 × 2 - 1) × π
    0.131179809570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41211353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    0.076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.23930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41211353} λ = 0.41211353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23930100290332))-π/2
    2×atan(1.27036086134805)-π/2
    2×0.903922782624103-π/2
    1.80784556524821-1.57079632675     		φ = 0.23704924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41211353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.612366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23704924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.581921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74133 KachelY 60544 0.41211353 0.23704924 23.612366 13.581921
    Oben rechts KachelX + 1 74134 KachelY 60544 0.41216146 0.23704924 23.615112 13.581921
    Unten links KachelX 74133 KachelY + 1 60545 0.41211353 0.23700264 23.612366 13.579251
    Unten rechts KachelX + 1 74134 KachelY + 1 60545 0.41216146 0.23700264 23.615112 13.579251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23704924-0.23700264) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dl = 296.888600000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23704924-0.23700264) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dr = 296.888600000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41211353-0.41216146) × cos(0.23704924) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97203514852682 × 6371000     		do = 296.822626185339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41211353-0.41216146) × cos(0.23700264) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.972046090801529 × 6371000     		du = 296.825967540557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23704924)-sin(0.23700264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97203514852682-0.972046090801529)×R²
    abs(0.41216146-0.41211353)×1.09422747093246e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.09422747093246e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.09422747093246e-05×40589641000000     		ar = 88123.7499575979m²