Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74133 / 54951
↖ ↑ ↗
← N 27.899776°
E 23.612366°		 ← 269.87 m → N 27.899776°
E 23.615112°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
N 27.897349°
E 23.612366°		 ← 269.88 m →
72 832 m²		 N 27.897349°
E 23.615112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565593719482422 y=0.419246673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565593719482422 × 217)
    floor (0.565593719482422 × 131072)
    floor (74133.5)     		tx = 74133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419246673583984 × 217)
    floor (0.419246673583984 × 131072)
    floor (54951.5)     		ty = 54951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74133 / 54951 ti = "17/74133/54951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74133/54951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74133 ÷ 217
    74133 ÷ 131072     		x = 0.565589904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54951 ÷ 217
    54951 ÷ 131072     		y = 0.419242858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565589904785156 × 2 - 1) × π
    0.131179809570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41211353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419242858886719 × 2 - 1) × π
    0.161514282226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.507412082478294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41211353} λ = 0.41211353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507412082478294))-π/2
    2×atan(1.66098713036795)-π/2
    2×1.02886964448283-π/2
    2.05773928896567-1.57079632675     		φ = 0.48694296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41211353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.612366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48694296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.899776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74133 KachelY 54951 0.41211353 0.48694296 23.612366 27.899776
    Oben rechts KachelX + 1 74134 KachelY 54951 0.41216146 0.48694296 23.615112 27.899776
    Unten links KachelX 74133 KachelY + 1 54952 0.41211353 0.48690060 23.612366 27.897349
    Unten rechts KachelX + 1 74134 KachelY + 1 54952 0.41216146 0.48690060 23.615112 27.897349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48694296-0.48690060) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dl = 269.875559999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48694296-0.48690060) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dr = 269.875559999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41211353-0.41216146) × cos(0.48694296) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883767455619555 × 6371000     		do = 269.869024295775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41211353-0.41216146) × cos(0.48690060) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883787276187528 × 6371000     		du = 269.875076744647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48694296)-sin(0.48690060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883767455619555-0.883787276187528)×R²
    abs(0.41216146-0.41211353)×1.98205679727836e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.98205679727836e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.98205679727836e-05×40589641000000     		ar = 72831.8707733267m²