Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74132 / 55148
↖ ↑ ↗
← N 27.420538°
E 23.609619°		 ← 271.11 m → N 27.420538°
E 23.612366°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.418100°
E 23.609619°		 ← 271.12 m →
73 495 m²		 N 27.418100°
E 23.612366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565586090087891 y=0.420749664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565586090087891 × 217)
    floor (0.565586090087891 × 131072)
    floor (74132.5)     		tx = 74132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420749664306641 × 217)
    floor (0.420749664306641 × 131072)
    floor (55148.5)     		ty = 55148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74132 / 55148 ti = "17/74132/55148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74132/55148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74132 ÷ 217
    74132 ÷ 131072     		x = 0.565582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55148 ÷ 217
    55148 ÷ 131072     		y = 0.420745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565582275390625 × 2 - 1) × π
    0.13116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41206559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420745849609375 × 2 - 1) × π
    0.15850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497968513253143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41206559} λ = 0.41206559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497968513253143))-π/2
    2×atan(1.64537531507241)-π/2
    2×1.02468750009547-π/2
    2.04937500019094-1.57079632675     		φ = 0.47857867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41206559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.609619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47857867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.420538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74132 KachelY 55148 0.41206559 0.47857867 23.609619 27.420538
    Oben rechts KachelX + 1 74133 KachelY 55148 0.41211353 0.47857867 23.612366 27.420538
    Unten links KachelX 74132 KachelY + 1 55149 0.41206559 0.47853612 23.609619 27.418100
    Unten rechts KachelX + 1 74133 KachelY + 1 55149 0.41211353 0.47853612 23.612366 27.418100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47857867-0.47853612) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47857867-0.47853612) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41206559-0.41211353) × cos(0.47857867) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887650367209776 × 6371000     		do = 271.111270266454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41206559-0.41211353) × cos(0.47853612) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887669961446997 × 6371000     		du = 271.117254850857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47857867)-sin(0.47853612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887650367209776-0.887669961446997)×R²
    abs(0.41211353-0.41206559)×1.95942372211988e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95942372211988e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95942372211988e-05×40589641000000     		ar = 73495.2945466825m²