Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74130 / 61067
↖ ↑ ↗
← N 12.181650°
E 23.604126°		 ← 298.49 m → N 12.181650°
E 23.606872°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
N 12.178965°
E 23.604126°		 ← 298.49 m →
89 112 m²		 N 12.178965°
E 23.606872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565570831298828 y=0.465908050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565570831298828 × 217)
    floor (0.565570831298828 × 131072)
    floor (74130.5)     		tx = 74130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465908050537109 × 217)
    floor (0.465908050537109 × 131072)
    floor (61067.5)     		ty = 61067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74130 / 61067 ti = "17/74130/61067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74130/61067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74130 ÷ 217
    74130 ÷ 131072     		x = 0.565567016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61067 ÷ 217
    61067 ÷ 131072     		y = 0.465904235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565567016601562 × 2 - 1) × π
    0.131134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41196972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465904235839844 × 2 - 1) × π
    0.0681915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.214230004402031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41196972} λ = 0.41196972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214230004402031))-π/2
    2×atan(1.23890757622185)-π/2
    2×0.891703111278011-π/2
    1.78340622255602-1.57079632675     		φ = 0.21260990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41196972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.604126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21260990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.181650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74130 KachelY 61067 0.41196972 0.21260990 23.604126 12.181650
    Oben rechts KachelX + 1 74131 KachelY 61067 0.41201765 0.21260990 23.606872 12.181650
    Unten links KachelX 74130 KachelY + 1 61068 0.41196972 0.21256304 23.604126 12.178965
    Unten rechts KachelX + 1 74131 KachelY + 1 61068 0.41201765 0.21256304 23.606872 12.178965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21260990-0.21256304) × R
    4.68599999999819e-05 × 6371000     		dl = 298.545059999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21260990-0.21256304) × R
    4.68599999999819e-05 × 6371000     		dr = 298.545059999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41196972-0.41201765) × cos(0.21260990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977483524884145 × 6371000     		do = 298.486353450361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41196972-0.41201765) × cos(0.21256304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977493411821532 × 6371000     		du = 298.489372545632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21260990)-sin(0.21256304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977483524884145-0.977493411821532)×R²
    abs(0.41201765-0.41196972)×9.88693738668278e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.88693738668278e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.88693738668278e-06×40589641000000     		ar = 89112.0769843115m²