Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7413 / 10718
↖ ↑ ↗
← S 48.429200°
W 17.116699°		 ← 1 621.23 m → S 48.429200°
W 17.094726°		 →
↑
1 620.97 m
↓
↑
1 620.97 m
↓
S 48.443778°
W 17.116699°		 ← 1 620.76 m →
2 627 586 m²		 S 48.443778°
W 17.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452484130859375 y=0.654205322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452484130859375 × 214)
    floor (0.452484130859375 × 16384)
    floor (7413.5)     		tx = 7413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654205322265625 × 214)
    floor (0.654205322265625 × 16384)
    floor (10718.5)     		ty = 10718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7413 / 10718 ti = "14/7413/10718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7413/10718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7413 ÷ 214
    7413 ÷ 16384     		x = 0.45245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10718 ÷ 214
    10718 ÷ 16384     		y = 0.6541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.0950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29874276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29874276} λ = -0.29874276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968708867522095))-π/2
    2×atan(0.379572800631833)-π/2
    2×0.362773661504966-π/2
    0.725547323009933-1.57079632675     		φ = -0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29874276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7413 KachelY 10718 -0.29874276 -0.84524900 -17.116699 -48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 7414 KachelY 10718 -0.29835926 -0.84524900 -17.094726 -48.429200
    Unten links KachelX 7413 KachelY + 1 10719 -0.29874276 -0.84550343 -17.116699 -48.443778
    Unten rechts KachelX + 1 7414 KachelY + 1 10719 -0.29835926 -0.84550343 -17.094726 -48.443778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84524900--0.84550343) × R
    0.000254429999999917 × 6371000     		dl = 1620.97352999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84524900--0.84550343) × R
    0.000254429999999917 × 6371000     		dr = 1620.97352999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29874276--0.29835926) × cos(-0.84524900) × R
    0.000383499999999981 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 1621.22527407686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29874276--0.29835926) × cos(-0.84550343) × R
    0.000383499999999981 × 0.663354647297183 × 6371000     		du = 1620.76014761621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84524900)-sin(-0.84550343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663354647297183)×R²
    abs(-0.29835926--0.29874276)×0.000190369808700019×R²
    0.000383499999999981×0.000190369808700019×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190369808700019×40589641000000     		ar = 2627586.29077931m²