Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74129 / 61056
↖ ↑ ↗
← N 12.211180°
E 23.601379°		 ← 298.52 m → N 12.211180°
E 23.604126°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.208496°
E 23.601379°		 ← 298.52 m →
89 102 m²		 N 12.208496°
E 23.604126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565563201904297 y=0.465824127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565563201904297 × 217)
    floor (0.565563201904297 × 131072)
    floor (74129.5)     		tx = 74129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465824127197266 × 217)
    floor (0.465824127197266 × 131072)
    floor (61056.5)     		ty = 61056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74129 / 61056 ti = "17/74129/61056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74129/61056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74129 ÷ 217
    74129 ÷ 131072     		x = 0.565559387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61056 ÷ 217
    61056 ÷ 131072     		y = 0.4658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565559387207031 × 2 - 1) × π
    0.131118774414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41192178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    0.068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41192178} λ = 0.41192178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214757310297852))-π/2
    2×atan(1.2395610317615)-π/2
    2×0.891960813342477-π/2
    1.78392162668495-1.57079632675     		φ = 0.21312530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41192178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.601379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21312530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.211180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74129 KachelY 61056 0.41192178 0.21312530 23.601379 12.211180
    Oben rechts KachelX + 1 74130 KachelY 61056 0.41196972 0.21312530 23.604126 12.211180
    Unten links KachelX 74129 KachelY + 1 61057 0.41192178 0.21307845 23.601379 12.208496
    Unten rechts KachelX + 1 74130 KachelY + 1 61057 0.41196972 0.21307845 23.604126 12.208496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21312530-0.21307845) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21312530-0.21307845) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41192178-0.41196972) × cos(0.21312530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97737463960511 × 6371000     		do = 298.515372558428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41192178-0.41196972) × cos(0.21307845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977384548034439 × 6371000     		du = 298.518398847788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21312530)-sin(0.21307845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97737463960511-0.977384548034439)×R²
    abs(0.41196972-0.41192178)×9.90842932868663e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.90842932868663e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.90842932868663e-06×40589641000000     		ar = 89101.7230586921m²