Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74129 / 55150
↖ ↑ ↗
← N 27.415662°
E 23.601379°		 ← 271.12 m → N 27.415662°
E 23.604126°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.413224°
E 23.601379°		 ← 271.13 m →
73 499 m²		 N 27.413224°
E 23.604126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565563201904297 y=0.420764923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565563201904297 × 217)
    floor (0.565563201904297 × 131072)
    floor (74129.5)     		tx = 74129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420764923095703 × 217)
    floor (0.420764923095703 × 131072)
    floor (55150.5)     		ty = 55150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74129 / 55150 ti = "17/74129/55150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74129/55150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74129 ÷ 217
    74129 ÷ 131072     		x = 0.565559387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55150 ÷ 217
    55150 ÷ 131072     		y = 0.420761108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565559387207031 × 2 - 1) × π
    0.131118774414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41192178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420761108398438 × 2 - 1) × π
    0.158477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497872639453903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41192178} λ = 0.41192178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497872639453903))-π/2
    2×atan(1.6452175742515)-π/2
    2×1.02464494794968-π/2
    2.04928989589936-1.57079632675     		φ = 0.47849357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41192178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.601379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47849357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.415662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74129 KachelY 55150 0.41192178 0.47849357 23.601379 27.415662
    Oben rechts KachelX + 1 74130 KachelY 55150 0.41196972 0.47849357 23.604126 27.415662
    Unten links KachelX 74129 KachelY + 1 55151 0.41192178 0.47845102 23.601379 27.413224
    Unten rechts KachelX + 1 74130 KachelY + 1 55151 0.41196972 0.47845102 23.604126 27.413224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47849357-0.47845102) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47849357-0.47845102) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41192178-0.41196972) × cos(0.47849357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887689554077089 × 6371000     		do = 271.123238944087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41192178-0.41196972) × cos(0.47845102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887709145100018 × 6371000     		du = 271.129222546763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47849357)-sin(0.47845102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887689554077089-0.887709145100018)×R²
    abs(0.41196972-0.41192178)×1.95910229284779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95910229284779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95910229284779e-05×40589641000000     		ar = 73498.5389552816m²