Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74129 / 54961
↖ ↑ ↗
← N 27.875500°
E 23.601379°		 ← 269.99 m → N 27.875500°
E 23.604126°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
N 27.873073°
E 23.601379°		 ← 269.99 m →
72 881 m²		 N 27.873073°
E 23.604126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565563201904297 y=0.419322967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565563201904297 × 217)
    floor (0.565563201904297 × 131072)
    floor (74129.5)     		tx = 74129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419322967529297 × 217)
    floor (0.419322967529297 × 131072)
    floor (54961.5)     		ty = 54961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74129 / 54961 ti = "17/74129/54961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74129/54961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74129 ÷ 217
    74129 ÷ 131072     		x = 0.565559387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54961 ÷ 217
    54961 ÷ 131072     		y = 0.419319152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565559387207031 × 2 - 1) × π
    0.131118774414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41192178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419319152832031 × 2 - 1) × π
    0.161361694335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.506932713482094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41192178} λ = 0.41192178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506932713482094))-π/2
    2×atan(1.66019109544704)-π/2
    2×1.02865779537139-π/2
    2.05731559074279-1.57079632675     		φ = 0.48651926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41192178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.601379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48651926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.875500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74129 KachelY 54961 0.41192178 0.48651926 23.601379 27.875500
    Oben rechts KachelX + 1 74130 KachelY 54961 0.41196972 0.48651926 23.604126 27.875500
    Unten links KachelX 74129 KachelY + 1 54962 0.41192178 0.48647689 23.601379 27.873073
    Unten rechts KachelX + 1 74130 KachelY + 1 54962 0.41196972 0.48647689 23.604126 27.873073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48651926-0.48647689) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48651926-0.48647689) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41192178-0.41196972) × cos(0.48651926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883965636687362 × 6371000     		do = 269.985858719632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41192178-0.41196972) × cos(0.48647689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883985446066724 × 6371000     		du = 269.991909013982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48651926)-sin(0.48647689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883965636687362-0.883985446066724)×R²
    abs(0.41196972-0.41192178)×1.98093793623011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98093793623011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98093793623011e-05×40589641000000     		ar = 72880.6022300522m²