Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74127 / 61095
↖ ↑ ↗
← N 12.106466°
E 23.595886°		 ← 298.63 m → N 12.106466°
E 23.598633°		 →
↑
298.61 m
↓
↑
298.61 m
↓
N 12.103781°
E 23.595886°		 ← 298.64 m →
89 175 m²		 N 12.103781°
E 23.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565547943115234 y=0.466121673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565547943115234 × 217)
    floor (0.565547943115234 × 131072)
    floor (74127.5)     		tx = 74127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466121673583984 × 217)
    floor (0.466121673583984 × 131072)
    floor (61095.5)     		ty = 61095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74127 / 61095 ti = "17/74127/61095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74127/61095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74127 ÷ 217
    74127 ÷ 131072     		x = 0.565544128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61095 ÷ 217
    61095 ÷ 131072     		y = 0.466117858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565544128417969 × 2 - 1) × π
    0.131088256835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41182590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466117858886719 × 2 - 1) × π
    0.0677642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.212887771212669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41182590} λ = 0.41182590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.212887771212669))-π/2
    2×atan(1.23724578885705)-π/2
    2×0.891047013143121-π/2
    1.78209402628624-1.57079632675     		φ = 0.21129770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41182590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.595886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21129770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.106466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74127 KachelY 61095 0.41182590 0.21129770 23.595886 12.106466
    Oben rechts KachelX + 1 74128 KachelY 61095 0.41187384 0.21129770 23.598633 12.106466
    Unten links KachelX 74127 KachelY + 1 61096 0.41182590 0.21125083 23.595886 12.103781
    Unten rechts KachelX + 1 74128 KachelY + 1 61096 0.41187384 0.21125083 23.598633 12.103781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21129770-0.21125083) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dl = 298.608770000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21129770-0.21125083) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dr = 298.608770000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41182590-0.41187384) × cos(0.21129770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977759572873763 × 6371000     		do = 298.632941086857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41182590-0.41187384) × cos(0.21125083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977769401794021 × 6371000     		du = 298.6359430921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21129770)-sin(0.21125083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977759572873763-0.977769401794021)×R²
    abs(0.41187384-0.41182590)×9.82892025791493e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.82892025791493e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.82892025791493e-06×40589641000000     		ar = 89174.863448359m²