Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74126 / 54922
↖ ↑ ↗
← N 27.970147°
E 23.593140°		 ← 269.69 m → N 27.970147°
E 23.595886°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
N 27.967721°
E 23.593140°		 ← 269.70 m →
72 750 m²		 N 27.967721°
E 23.595886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565540313720703 y=0.419025421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565540313720703 × 217)
    floor (0.565540313720703 × 131072)
    floor (74126.5)     		tx = 74126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419025421142578 × 217)
    floor (0.419025421142578 × 131072)
    floor (54922.5)     		ty = 54922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74126 / 54922 ti = "17/74126/54922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74126/54922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74126 ÷ 217
    74126 ÷ 131072     		x = 0.565536499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54922 ÷ 217
    54922 ÷ 131072     		y = 0.419021606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565536499023438 × 2 - 1) × π
    0.131072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41177797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419021606445312 × 2 - 1) × π
    0.161956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.508802252567276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41177797} λ = 0.41177797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508802252567276))-π/2
    2×atan(1.66329779072811)-π/2
    2×1.02948373811411-π/2
    2.05896747622823-1.57079632675     		φ = 0.48817115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41177797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.593140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48817115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.970147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74126 KachelY 54922 0.41177797 0.48817115 23.593140 27.970147
    Oben rechts KachelX + 1 74127 KachelY 54922 0.41182590 0.48817115 23.595886 27.970147
    Unten links KachelX 74126 KachelY + 1 54923 0.41177797 0.48812881 23.593140 27.967721
    Unten rechts KachelX + 1 74127 KachelY + 1 54923 0.41182590 0.48812881 23.595886 27.967721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48817115-0.48812881) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dl = 269.748139999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48817115-0.48812881) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dr = 269.748139999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41177797-0.41182590) × cos(0.48817115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883192086720347 × 6371000     		do = 269.693328481026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41177797-0.41182590) × cos(0.48812881) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883211943873393 × 6371000     		du = 269.69939210159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48817115)-sin(0.48812881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883192086720347-0.883211943873393)×R²
    abs(0.41182590-0.41177797)×1.98571530458658e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98571530458658e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98571530458658e-05×40589641000000     		ar = 72750.0915641081m²