Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74125 / 60802
↖ ↑ ↗
← N 12.892135°
E 23.590393°		 ← 297.73 m → N 12.892135°
E 23.593140°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.889457°
E 23.590393°		 ← 297.73 m →
88 639 m²		 N 12.889457°
E 23.593140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565532684326172 y=0.463886260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565532684326172 × 217)
    floor (0.565532684326172 × 131072)
    floor (74125.5)     		tx = 74125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463886260986328 × 217)
    floor (0.463886260986328 × 131072)
    floor (60802.5)     		ty = 60802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74125 / 60802 ti = "17/74125/60802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74125/60802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74125 ÷ 217
    74125 ÷ 131072     		x = 0.565528869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60802 ÷ 217
    60802 ÷ 131072     		y = 0.463882446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565528869628906 × 2 - 1) × π
    0.131057739257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41173003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463882446289062 × 2 - 1) × π
    0.072235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.226933282801346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41173003} λ = 0.41173003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226933282801346))-π/2
    2×atan(1.25474615199938)-π/2
    2×0.897903261144366-π/2
    1.79580652228873-1.57079632675     		φ = 0.22501020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41173003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.590393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22501020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.892135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74125 KachelY 60802 0.41173003 0.22501020 23.590393 12.892135
    Oben rechts KachelX + 1 74126 KachelY 60802 0.41177797 0.22501020 23.593140 12.892135
    Unten links KachelX 74125 KachelY + 1 60803 0.41173003 0.22496347 23.590393 12.889457
    Unten rechts KachelX + 1 74126 KachelY + 1 60803 0.41177797 0.22496347 23.593140 12.889457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22501020-0.22496347) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22501020-0.22496347) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41173003-0.41177797) × cos(0.22501020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974791831333341 × 6371000     		do = 297.726516430746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41173003-0.41177797) × cos(0.22496347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974802256493948 × 6371000     		du = 297.729700543139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22501020)-sin(0.22496347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974791831333341-0.974802256493948)×R²
    abs(0.41177797-0.41173003)×1.04251606067862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04251606067862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04251606067862e-05×40589641000000     		ar = 88638.668676727m²