Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74123 / 78380
↖ ↑ ↗
← S 33.238688°
E 23.584900°		 ← 255.40 m → S 33.238688°
E 23.587646°		 →
↑
255.41 m
↓
↑
255.41 m
↓
S 33.240985°
E 23.584900°		 ← 255.40 m →
65 233 m²		 S 33.240985°
E 23.587646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565517425537109 y=0.597995758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565517425537109 × 217)
    floor (0.565517425537109 × 131072)
    floor (74123.5)     		tx = 74123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597995758056641 × 217)
    floor (0.597995758056641 × 131072)
    floor (78380.5)     		ty = 78380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74123 / 78380 ti = "17/74123/78380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74123/78380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74123 ÷ 217
    74123 ÷ 131072     		x = 0.565513610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78380 ÷ 217
    78380 ÷ 131072     		y = 0.597991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565513610839844 × 2 - 1) × π
    0.131027221679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41163416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.19598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.615701538720001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41163416} λ = 0.41163416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615701538720001))-π/2
    2×atan(0.540261747796521)-π/2
    2×0.495335895205937-π/2
    0.990671790411873-1.57079632675     		φ = -0.58012454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41163416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.584900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58012454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.238688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74123 KachelY 78380 0.41163416 -0.58012454 23.584900 -33.238688
    Oben rechts KachelX + 1 74124 KachelY 78380 0.41168209 -0.58012454 23.587646 -33.238688
    Unten links KachelX 74123 KachelY + 1 78381 0.41163416 -0.58016463 23.584900 -33.240985
    Unten rechts KachelX + 1 74124 KachelY + 1 78381 0.41168209 -0.58016463 23.587646 -33.240985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58012454--0.58016463) × R
    4.00899999999371e-05 × 6371000     		dl = 255.413389999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58012454--0.58016463) × R
    4.00899999999371e-05 × 6371000     		dr = 255.413389999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41163416-0.41168209) × cos(-0.58012454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.836394392527419 × 6371000     		do = 255.40308958265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41163416-0.41168209) × cos(-0.58016463) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.836372417399541 × 6371000     		du = 255.396379212992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58012454)-sin(-0.58016463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836394392527419-0.836372417399541)×R²
    abs(0.41168209-0.41163416)×2.19751278774938e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19751278774938e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19751278774938e-05×40589641000000     		ar = 65232.5119762954m²