Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74123 / 60557
↖ ↑ ↗
← N 13.547211°
E 23.584900°		 ← 296.87 m → N 13.547211°
E 23.587646°		 →
↑
296.89 m
↓
↑
296.89 m
↓
N 13.544541°
E 23.584900°		 ← 296.87 m →
88 137 m²		 N 13.544541°
E 23.587646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565517425537109 y=0.462017059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565517425537109 × 217)
    floor (0.565517425537109 × 131072)
    floor (74123.5)     		tx = 74123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462017059326172 × 217)
    floor (0.462017059326172 × 131072)
    floor (60557.5)     		ty = 60557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74123 / 60557 ti = "17/74123/60557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74123/60557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74123 ÷ 217
    74123 ÷ 131072     		x = 0.565513610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60557 ÷ 217
    60557 ÷ 131072     		y = 0.462013244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565513610839844 × 2 - 1) × π
    0.131027221679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41163416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462013244628906 × 2 - 1) × π
    0.0759735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.23867782320826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41163416} λ = 0.41163416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23867782320826))-π/2
    2×atan(1.26956944487681)-π/2
    2×0.903619884195548-π/2
    1.8072397683911-1.57079632675     		φ = 0.23644344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41163416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.584900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23644344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.547211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74123 KachelY 60557 0.41163416 0.23644344 23.584900 13.547211
    Oben rechts KachelX + 1 74124 KachelY 60557 0.41168209 0.23644344 23.587646 13.547211
    Unten links KachelX 74123 KachelY + 1 60558 0.41163416 0.23639684 23.584900 13.544541
    Unten rechts KachelX + 1 74124 KachelY + 1 60558 0.41168209 0.23639684 23.587646 13.544541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23644344-0.23639684) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dl = 296.888600000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23644344-0.23639684) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dr = 296.888600000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41163416-0.41168209) × cos(0.23644344) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.972177233444451 × 6371000     		do = 296.866013524219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41163416-0.41168209) × cos(0.23639684) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.972188148276175 × 6371000     		du = 296.869346499392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23644344)-sin(0.23639684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972177233444451-0.972188148276175)×R²
    abs(0.41168209-0.41163416)×1.09148317243291e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.09148317243291e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.09148317243291e-05×40589641000000     		ar = 88136.6299199357m²